問 スイッチ切り替え問題
ここに１０００個のスイッチがあります。全てのスイッチには１番から１０００番までの番号が順に振られていて、初めはOFFとなっています。
では、次の試行を繰り返す場合、最終的にONになっているスイッチはいくつあるでしょうか。
・１の倍数のスイッチを切り替える（ONをOFFに、OFFをONにする）
・２の倍数のスイッチを切り替える
・３の倍数のスイッチを切り替える
…
・９９９の倍数のスイッチを切り替える
・１０００の倍数のスイッチを切り替える
答 ONになるスイッチは31個
例えば、６番のスイッチはどうなるのか考えてみましょう。
１回目の試行では、全てのスイッチが切り替わるので、６番スイッチもOFFになります。６は２の倍数なので、２回目の試行でも、切り替わり、３回目の試行でも、切り替わり、OFFになります。ここまでくると気がつきましたか？
ある倍数のスイッチのON・OFFを切り替えるということは、
ON・OFFの切り替え回数
＝その数字が持つ１０００までの約数の数
ということになります。
６の約数は１・２・３・６の４つ（偶数個）なので、OFFとなります。各スイッチの最終的なON・OFFは、「その番数の持つ約数が偶数個か奇数個か」で決まる、ということが分かります。
すなわち、最終的にONとなるスイッチの番号は、約数が奇数個あるもの、そう、平方数のスイッチとなるのです！
以上より、ONとなるスイッチは、１、４、９、１６と続き３１×３１までの３１個と導かれます。
「部分から全体を攻めよ！」
この問題を解くカギとなる論理的な頭の使い方は、「部分から全体を攻めよ！」です。難解な問題を解く際に、まずは小さなモデルを検証すると、解答がスムーズに進みます。
今回であれば、１０００個のスイッチ全体の動きを把握しようとするのは大変難しいことです。１つのスイッチ＝小さなモデルに絞って検証することで解答のヒントが導きだされました。
「どのような数がON・OFFになるのだろう」と１０００個のスイッチに対してぼんやりと思考を巡らせるのではなく、「例えば、６番のスイッチはどうなるのだろう」と具体的な部分に思考を巡らすのです。そうすれば、問題に隠された法則を発見することができます！
これ、本当に数学ではよく使う技術なので、ぜひ使ってみて下さい。
まとめ
きっと受験勉強にも通じる頭の使い方を学べていただけたのではないでしょうか。この論理問題を通じて、頭を使う楽しさを感じてもらえたならとても嬉しいです。
他にも、
