【数学対策】今すぐ使える公式講座!【パターン学習】

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こんにちは!ライターのいとぅです!

数学の公式、覚えていてもなかなか使えない。そんな人のための「今すぐ使える公式講座」これより開講します!

今回の公式:加法定理

加法定理とは:

sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ
cos(α+β) = cosαcosβ − sinαsinβ
tan(α+β) = (tanα+tanβ)/(1−tanαtanβ)

です!

ちなみに…
・sinの加法定理の覚え方:「咲いた(sin)コスモス(cos)、コスモス咲いた」
・cosの加法定理の覚え方:「コスモスコスモス、咲いた咲いた」
・tanの加法定理の覚え方:「タン(tan)タ(+)タン(tan)、いち(1)ひく(−)タン(tan)タン(tan)」

実はこれさえ覚えておけば、(α−β)の場合や倍角の公式や「和→積の公式」・「積→和の公式」は覚えなくていいんです!

(α−β)の場合は上の式のβを−βに変えればいいだけですね。

「和→積の公式」などはまたの機会にするとして、加法定理の練習で二倍角の公式を導いちゃいましょう。

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例題でチェック!

二倍角の公式:

sin2θ = 2sinθcosθ
cos2θ= 2cos2θ−1
tan2θ=2tanθ/(1−tan2θ)

証明

sin⁡2θ=sin⁡(θ+θ)
=sin⁡θcos⁡θ+cos⁡θsin⁡θ
=2sin⁡θcos⁡θ

cos⁡2θ=cos⁡(θ+θ)
=cos⁡θcos⁡θ−sin⁡θsin⁡θ
=cos⁡2θ−(1−cos2⁡θ)
=2cos⁡2θ−1

tan⁡2θ=tan⁡(θ+θ)
=(tan⁡θ+tan⁡θ )/(1−tan⁡θtan⁡θ)
=2tan⁡θ/(1−tan⁡2θ)

*二倍角の公式は覚えておいて損はない、というか覚えるべきです。が、和→積の公式や積→和の公式はごっちゃになりやすいので、100%暗記には頼らず加法定理から導くのを推奨します。

例題でチェック!!

それでは二倍角の公式も証明したところで、実際にセンター試験で出題された問題を解いてみましょう!

Oを原点とする座標平面上の2点 P(2cosθ, 2sinθ)、Q(2cosθ+cos7θ, 2sinθ+sin7θ)を考える。

OP=( ア )、PQ=( イ )である。また、
OQ2=( ウ )+( エ )(cos7θcosθ + sin7θsinθ)
  =( ウ )+( エ )cos(( オ )θ)
である。

解説

2点間の距離の公式を使ってOP,QR,OQの長さを求めてみましょう。

OP2=(2cosθ−0)2+(2sinθ−0)2=4(cos2θ+sin2θ)=4

より、OP=2 (OPは長さだから0以上の値をとるので-2にはならない)

同様にして、PQ=1 となります。

また、

OQ2=(4cos2θ+4cosθcos7θ+cos27θ)+(4sin2θ+4sinθsin7θ+sin27θ)

=4(cos2θ+sin2θ)+(cos27θ+sin27θ)+4(cos7θcosθ+sin7θsinθ)

=5+4(cos7θcosθ+sin7θsinθ)

=5+4cos8θ

黄色マーカーは加法定理を使うポイント!

加法定理の頻出パターン

加法定理の問題でよく出るパターンは大きく分けて2つ!!
いずれも式変形の問題ですが、特に2番目に紹介するものは知ってなきゃなかなか思いつきません。ここで身につけていきましょう。

  1. sinα(またはcosα)とsinβ(またはcosβ)の値がわかっているときに、sin(α+β)などを求めるパターン
  2. 例題でチェック

    α,βが鋭角で、cosα=1/3、sinβ=4/5のとき、cos(α+β)の値を計算せよ。

    sinα=√(1-1/9)=2√2/3、cosβ=3/5より、

    cos(α+β)=1/3・3/5−2√2/3・4/5 = (3−8√2)/5

  3. sinα−sinβとcosα+cosβがわかっているときにcos(α+β)を求めるようなパターン

例題でチェック

sinα−sinβ=1/2、cosα+cosβ=2/3のとき、cos(α+β)を求めよ。

(sinα−sinβ)2=sin2α-2sinαsinβ+sin2β=1/4、

(cosα+cosβ)2=cos2α+2cosαcosβ+cos2β=4/9 より、

(sin2α+cos2α)+(sin2β+cos2β)+2(cosαcosβ-sinαsinβ)=1+1+2cos(α+β)=25/36

よってcos(α+β)=47/72

おわりのことば

加法定理は三角関数の公式の基礎となる定理です。これをバッチリ押さえて、他の公式を習得するのに活かしましょう。

これにて今回の講座を終わります!それではまた次回お会いしましょう!!

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