【数学B】等差数列の要点まとめ

数学科目別

みなさんこんにちは!ライターのいとぅです。

高校数学要点まとめシリーズ、今回は数学B「数列」の分野から「等差数列」をとりあげます!

等差数列といえば、「数列」分野のなかでも基礎中の基礎!だからこそ軽視してはいけない項目ですね。

まずは簡単に要点を抑えていきましょう。

等差数列の要点まとめ

等差数列とは

等差数列とは隣り合う項のが一定である数列です。

この差(公差という)をdとして、もっと一般的に表すと

$$ a_{n+1} – a_n = d (nは自然数) $$

であるような数列のことです。

具体例
例えば、 1,4,7,10,13,16,… という数列は、

4 – 1 = 3
7 – 4 = 3
10 – 7 = 3

というように、隣同士の項はすべて差が3ですね。これが公差です。

他にも、「同じ数(公差)ずつ増えていく数列」として覚える方法もあります。(というか僕はこっちで覚えていました)

sequence_1
具体例
先ほどの例でいうと、

1 + 3 = 4
4 + 3 = 7
7 + 3 = 10

ということです。

どちらも同じことなので覚えやすい方で覚えましょう。

等差数列の一般項の公式

等差数列の一般項(第n項)は

$$ a_n = a_1 +d(n-1) $$

と表されます。

くわしい説明

sequence_1

この図を見ると、例えば第3項は初項(第1項)に2回dを加えたものですね。

第4項は3回、第5項は4回、というように繰り返していくと、

第n項は初項にn-1回dを加えたものだということが分かります。

だから an = a1 + d(n-1) という式が出てくるんです。

等差数列の和の公式

初項から第n項までの和をSnとすると、

\begin{eqnarray*}
S_n&=&\frac{1}{2}(a_1+a_n)n\\
&=&\frac{1}{2}(2a_1+d(n-1))n
\end{eqnarray*}
くわしい説明
各項をそれぞれan = a1 + d(n-1)の形で表すと、
$$
S_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + (a_1 + 3d) + … + (a_1 + (n-1)d)
$$
一方、各項をanを使って表すと
$$
S_n = a_n + (a_n – d) + (a_n – 2d) + (a_n – 3d) + … + (a_n – (n-1)d)
$$
これらを足すと
$$
2S_n = (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + … + (a_1 + a_n) = n(a_1 + a_n)
$$
だから、これを2で割って
$$
S_n = \frac{1}{2}(a_1 + a_n)n\
$$
というわけです。

等差中項

数列{a,b,c}が等差数列であるとき、
$$ 2b = a + c $$
が成り立ちます。

逆に、
$$ 2b = a + c $$
が成り立つとき、数列{a,b,c}は等差数列です。(※{c,b,a}も等差数列です)

この b のことを等差中項といいます。

くわしい解説
数列{a,b,c}の公差をdとしましょう。

すると、

b – a = d (1)
c – b = d (2)

とできます。(2) – (1)で、

2b – a – c = 0

となるので

2b = a + c

が成り立ちますね。

逆に、 2b = a + c が成り立つとき、先ほどとは逆の式変形をして

b – a = c – b

となり、「隣り合う項の差が等しい」ことが言えるので{a,b,c}は等差数列です。

次ページ:問題演習で定着しているか確認しましょう!

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