【3分で分かる!】2倍角の公式の覚え方と証明、使い方のコツ

2倍角の公式の使い方

それでは実際の問題を通して2倍角の公式の使い方をマスターしましょう。

問題

αは第2象限の角であり、\(sinα=\frac{4}{5}\)である。

このとき、sin2α、cos2α、tan2αの値を求めなさい。

解き方

与えられているのはsinαのみであるので、まず最初にcosαを求める必要があります。

\(sin^2α+cos^2α=1\)であるから

\begin{align}
cos^2α&=1-sin^2α \\
&=1-(\frac{4}{5})^2 \\
&=\frac{9}{25}
\end{align}

αは第2象限の角であるから、cosα<0

よって、\(cosα=-\frac{3}{5}\)

これで、sinα、cosαの値がわかったので2倍角の公式を利用して、

\begin{align}
sin2α&=2sinαcosα \\
&=2・\frac{4}{5}・(-\frac{3}{5}) \\
&=-\frac{24}{25} ・・・(答)
\end{align}

これでsin2αが求まりました。次にcos2αを求めます。

\begin{align}
cos2α&=cos^2α-sin^2α \\
&=(-\frac{3}{5})^2-(\frac{4}{5})^2 \\
&= -\frac{7}{25} ・・・(答)
\end{align}

最後にtan2αを求めましょう。

tanの2倍角の公式を利用しても良いですが、sin2α、cos2αが求まっているので

それらを利用する方が楽に求められますね。

\begin{align}
tan2α&=\frac{sin2α}{cos2α} \\
&=\frac{24}{7} ・・・(答)
\end{align}

別解

tan2αを倍角の公式を利用して求めてみましょう。

まずはtanαから求めます。

\begin{align}
tanα&=\frac{sinα}{cosα} \\
&=-\frac{4}{3} \\
\end{align}

次に、倍角の公式を利用していきます。

\begin{align}
tan2α&=\frac{2tanα}{1-tan^2α} \\
&=\frac{2・(-\frac{4}{3})}{1-(-\frac{4}{3})^2} \\
&=\frac{24}{7} ・・・(答) \\
\end{align}

1回tanαを求めることになるので2度手間になりますが、倍角の公式を使っても求めることができましたね。

倍角の公式は三角関数の基本中の基本

以上のように倍角の公式は加法定理から簡単に導くことができるので、「思ったよりも難しくない」と感じた方も多いのではないでしょうか。

角の2倍のイメージがつきにくい人は、30°,45°などの具体的な値で計算すると実感がつかめて良いと思います。

ど忘れしてしまっても加法定理の公式に代入することで、すぐに導くことができるのでケアレスミスも防ぐことができますね。

ただ、実際の問題の中で「cosαは正だけど、cos2αは負」といったようなことが起きてくるので、できるだけ図を書くなどして全体像を把握し、角の大きさ、sin・cosの正負に注意しましょう。




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