【3分で分かる!】中心角の求め方ー公式とその証明、練習問題まで!

中心角の公式の証明(おうぎ形、円すい)

おうぎ形の中心角の求め方の証明

では、まずおうぎ形の中心角の公式がなぜ成り立つか確認しましょう。

やり方は、おうぎ形の弧\(l\)を\(r\)、\(x\)を使って表すという方法です。

考え方のポイントは、半径が等しい扇形の弧の長さは、中心角に比例するということです。
つまり、おうぎ形の弧の長さに注目するのがポイントです。

しかし、これだとよくわかりにくいので、もう少し説明しますね。

まず、おうぎ形を作ったもともとの円を考えてみましょう。

Screen Shot 2017-10-16 at 23.30.12

次に、円の全周である\(360°\)のうち、
今求めたいおうぎ形は、もとの円のうち何度分を切り取ったものなのか?
という割合を考えます。

ピザとかを想定するとわかりやすいですね。

言い換えると、おうぎ形の弧の長さを求めるには、円の全周\(360°\)に対する中心角の割合という要素が必要になります。

以上のことから、おうぎ形の弧の求め方は\[l=2πr×\displaystyle \frac{ x° }{ 360° }\]になります。

Screen Shot 2017-10-16 at 23.43.53

そして、これを\(x\)について式変形をすることで証明は終了です。

\(l=2πr×\displaystyle \frac{ x° }{ 360° }\)より、\(x\)について整理して\[\style{ color:red; }{ x=\displaystyle \frac{ 180l }{ πr } }\]

これが、おうぎ形の中心角の公式の証明になります。
結構シンプルだと思いますが、円の弧の長さを求めるのがポイントです。

円すいの中心角の求め方の証明

では円すいの中心角についても、なぜあの公式が成り立つのでしょうか?

基本的な考え方は、おうぎ型のところで紹介したものと変わりません。
半径が等しい扇形の弧の長さは、中心角に比例するということを使います。

また、もう1つ円すいについて考えるときに押さえておかねばならないことがあります。
それは、底面の円の円周とおうぎ形の弧の長さが等しいということです。

Screen Shot 2017-10-17 at 12.42.28

このことより、方程式を作ります。
何で方程式を作るかというと、弧の長さです。

弧の長さを2パターンで表してイコールで挟むことで方程式を作ります。

底面の円の円周は、直径\(×π\)より\(2πr\)です。

一方で、おうぎ形の弧の長さは先ほど説明したように、\[2πl×\displaystyle \frac{ x° }{ 360° }\]と表すこともできました。

以上より方程式を作ってみると、\[2πr=2πl×\displaystyle \frac{ x° }{ 360° }\]になります。

これを\(x\)について整理すると、\[\style{ color:red; }{ x=\displaystyle \frac{ 360r }{ l } }\]になり、証明ができました。

公式は証明までしっかり覚えて覚えることで、忘れにくくなります。
理屈まで理解することを心がけましょう。

では、次のページはここまでで紹介してきた公式を使う練習問題に取り組んでみましょう!

次ページ:中心角の練習問題でここまでの内容をチェック!




皆さんの意見を聞かせてください!
合格サプリWEBに関するアンケート