はじめに：等比数列について
等比数列は等差数列と並んで基本的な数列の1つです。
一般項や等比中項に関しては一度学習すれば問題はないのですが、等比数列の和は受験生が間違えやすいポイントとなっています。
最初はとっつきにくいところがあるかもしれませんが、まずは公式を問題の中で利用していくことで覚えてしまいましょう。
目次
等比数列の一般項
等比数列の一般項を表す式
最初に等比数列の一般項を表す式を紹介します。
一般項とは数列{\(a_n\)}の第n番目の項をnを用いて表すことです。
一般項を求めれば、nに特定の値を代入するだけで数列の各項を求めることができます。
等比数列の一般項は次のように表されます。
この一般項を覚えないことには等比数列はマスターできないので早めに覚えてしまいましょう。
覚えるにあたって、この一般項の具体的な意味を考えると覚えやすいです。
初項a、公比rの等比数列\({a_n}\)の\(a_1,a_2,a_3\)を考えてみます。
\(a_1\)は初項なので、\(a_1=a\)となるのは良いですよね。
\(a_2\)はこれにｒを掛けたものなので、
\(a_2=a_1・r=ar\)となります。
同様に\(a_3\)はこれにｒを掛けたものなので、
\(a_3=a_2・r=ar・r=ar^2\)となります。
これを繰り返すと、\(a_n\)は\(a_1\)にrをn-1回掛けたものになり、それが先程紹介した一般項
\(a_n=ar^{n-1}\)
となります。このように一般項は初項に公比をn-1回掛けたものである、という意味を知って置くことで間違えにくくなりますよ。
等比数列の一般項の使い方
それでは一般項を実際に問題を通して使ってみましょう。
問題
等比数列である\(2,\frac{1}{2},\frac{1}{8}\)の一般項\(a_n\)を求めよ。また第6項を求めよ。
解答・解説
一般項を求めるためには初項と公比が必要でした。
この数列は等比数列であることがわかっているので、公比は隣合う項の比から求めることができますね。
計算すると公比は\(\frac{1}{4}\)であることがわかります。
初項は2なので、一般項を求めると
\(a_n=2・(\frac{1}{4})^{n-1}\)
となります。これより第6項を求めると、
\(a_6=2・(\frac{1}{4})^{6-1}=\frac{1}{512}\)
このように一般項のnに代入するだけで求めることができます。
等比数列の等比中項
等比数列の等比中項の公式
次に紹介するのは等比中項です。以下のようになります。
ある3つの数が等比数列であるとき、真ん中の数の2乗が他の数の積に等しくなります。
実際に計算してみましょう。
初項a、公比rである等比数列{\(a_n\)}を考えます。
\(a_{n-1},a_n,a_{n+1}\)はそれぞれ、
\(ar^{n-2},ar^{n-1},ar^n\)となります。
これより
\(a_n^2=(ar^{n-1})^2=a^2r^{2n-2}\)
また
\(a_{n-1}・a_{n+1}=ar^{n-2}・ar^n=a^2r^{2n-2}\)
よって\(a_n=a_{n-1}・a_{n+1}\)が成り立つので、等比中項が成り立つことがわかります。
等比中項の使い方
それでは実際に等比中項を使った問題を解いてみましょう。
問題
a,b,cはこの順に等比数列である。
a+b+c=14
abc=64
であるとき、a,b,cの値を求めよ。
問題の解答・解説
このままでは方程式が2つしかないので解くことはできませんが、等比中項を利用することで3つの値を求めることができます。
等比中項が成り立つことより
\(b^2=ac\)
これをabc=64に代入して
\(b^3=64\)
よってb=4
またこれをそれぞれに代入することにより
a+c=10
ac=16
これより(a,c)=(2,8),(8,2)
よって答えは
(a,b,c)=(2,4,8),(8,4,2)
等比数列の和の公式
等比数列の和の公式とその証明
最後に等比数列の和の公式を紹介します。
公式を証明していきます。
初項a、公比rの等比数列{\(a_n\)}の和を\(S_n\)とします。
まずはr≠1のときを考えます。
\(S_n=a+ar+ar^2+・・・\\+ar^{n-2}+ar^{n-1}・・・(1)\)
これにrを掛けると
\(rS_n= ar+ar^2+・・・\\+ar^{n-2}+ar^{n-1}+ar^n・・・(2)\)
(1)-(2)より
\((1-r)S_n=a-ar^n\)
よって
\(S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}\)
また、r=1のとき一般項\(a_n\)はnに関わらずaとなります。
よって\(S_n\)は初項×項数となるので
\(S_n=an\)です。
これらを整理すると
- r≠1のとき
\(S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}\)
- r=1のとき
\(S_n=an\)
となります。証明の過程が少し複雑ですので、最初は理解できなくても問題ありません。
等比数列を学習する過程で何度か見返して習得していきましょう。まずは公式を覚えることが大事です。
等比数列の和の公式の使い方
それでは実際に等比数列の和の公式を使ってみましょう。
問題
初項4、公比-2、項数6の等比数列の和を求めよ
解答・解説
公式に素直に当てはめることで和を求めましょう。
公比は1ではないのでこちらの公式を利用します。
\(S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}\)
ここにa=4,r=-2,n=6を代入していきます。
\begin{align}
S_6&=\frac{4(1-(-2)^6)}{1-(-2)}\\
&=-84・・・(答)
\end{align}
このように公式に代入するだけで和を求めることができます。
注意するべきは公比が1かどうかです。
公比が1であるときは
\(S_n=an\)
を利用するので注意しましょう。
おわりに：等比数列の和の公式には注意が必要
等比数列それ自体や等比中項は一度覚えてしまえば特に問題はありませんが、等比数列の和に関しては注意が必要です。
特に公比がrなど文字で与えられた場合に、場合分けをすることを忘れてしまいやすいのです。
常に公比が1であるかどうかには注意を払いましょう。
