等差数列の公式
等差数列は数列の中でも最も基本的な数列です。等比数列、階差数列といった他の数列を学ぶ上でも外せない分野です。
そもそも数列自体に慣れていなくて戸惑うこともあるかもしれませんが、公式を覚え、いくつか問題を解くことで等差数列の基礎事項はマスターできます。
今回は公式を紹介し、簡単な練習問題を解いていこうと思います。
目次
等差数列の一般項の公式
等差数列の一般項の公式とその証明
まずは一般項を求める公式を紹介します。
一般項とは数列{\(a_n\)}の第n番目の項をnを用いて表すことです。
一般項を求めることで、nに特定の値を代入するだけで、数列の各項を求めることができます。
例えば、\(a_n=2n-1\)ということがわかっているとき、その数列の7番目の項である\(a_7\)は
\(a_7=2・7-1=13\)
と求めることができます。
このように一般項を求めることは数列を把握する上で欠かせないことなのです。
そして、等差数列の一般項は次のように表されます。
最初は混乱するかもしれませんが、この式の具体的な意味を考えればすぐに覚えることができます。
その説明のために初項がa,公差がdである等差数列を考えます。
初項がaであるので、当然
\(a_1=a\)です。
次に\(a_2\)を考えてみましょう。この数列は公差がdであるので\(a_2\)は\(a_1\)がdだけ増えたものですよね。
よって
\(a_2=a_1+d=a+d\)だとわかります。
同様に\(a_3\)は\(a_2\)がdだけ増えたものなので、
\(a_3=a_2+d=(a+d)+d=a+2d\)
となります。
要するに\(a_n\)は初項に対してdをn-1回足したものになるということがことがわかります。
n回ではないことに注意しましょう。
このことを踏まえると等差数列の一般項を求める公式が、
\(a_n=a+(n-1)d\)
となることがわかると思います。
等差数列の一般項の公式を使う問題
公式の使い方を練習問題を通して学びましょう。
問題
等差数列である20,24,28・・・の一般項を求めよ。また第10項を求めよ。
問題の解答・解説
等差数列の一般項を求める公式は、初項をa、公差をdとすると
\(a_n=a+(n-1)d\)
となりましたね。
ここでは公差がまだ分かっていないので公差を求めるところから始めましょう。
この数列は等差数列であることがわかっているので、
24-20=4より、公差は4であることがわかります。
よって一般項を公式を使って求めると
\(a_n=a+(n-1)d=20+(n-1)4=4n+16・・・(答)\)
となります。次にこの一般項を用いて第10項を求めましょう。
nに10を代入すると、
\(a_10=4・10+16=56・・・(答)\)
このように一般項のnに10を代入するだけで求めることができます。
等差数列の等差中項の公式
等差数列の等差中項の公式とその証明
次に等差中項について説明します。
これは以下のようなものです。
これは先程説明した一般項を用いて簡単に説明することができます。
初項a,公差dの等差数列の一般項は
\(a_n=a+(n-1)d\)
と表せましたね。これよりn-1項、n+1項は
\(a_{n-1}=a+(n-2)d\)
\(a_{n+1}=a+n・d\)
と表すことができます。
当然\(a_{n-1},a_n,a_{n+1}\)はこの順で等差数列となります。
このとき、
\begin{align} a_{n-1}+a_{n+1}&=a+(n-2)d+a+n・d \\
&=2a+2(n-1)d \\
&=2a_n \end{align}
となります。このようにして等差中項は成り立つのです。
等差数列の等差中項の公式を使う問題
それでは練習問題を解いて使い方を学びましょう。
問題
\(a,b,c\)はこの順で等差数列をなす。a<cとする。
\(a+b+c=21\)
\(abc=231\)
のときa,b,cの値を求めよ。
問題の解答・解説
a,b,cの方程式が2つしかないので、それぞれの値を求めるためにはもう1つ条件が必要です。
そこで登場するのが等差中項です。
等差中項が成り立つことより
\(2b=a+c\)
が成立します。これより3つの式ができたのでそれぞれ連立して計算すると
\(a=3,b=7,c=11\)
を求めることができます。
等差数列の和の公式
等差数列の和の公式とその証明
最後に等差数列の和の公式を紹介します。
等差数列の和はそれ自体は公式を覚えることで簡単に用いることができるのですが、応用させた問題が出題されることが多いので正しく理解することが必要です。
公式は以下の通りです。
簡単に証明してみます。
等差数列の和を\(S_n\)とします。
これを\(a_n\)で表すと
\begin{align}
S_n&=a_1+a_2+・・・+a_n\\
&=a+(a+d)+・・・\{a+(n-1)d\}\\
\end{align}
この順番を変えても値は変わらないので
\(S_n=\{a+(n-1)d\}+\{a+(n-2)d\}+・・・+a\)
これらを合計すると
\(2S_n=\{2a+(n-1)d\}+\{2a+(n-1)d\}+・・・+\{2a+(n-1)d\}\)
となります。{初項+末項}がn回繰り返されていることがわかります。
これらを整理して
\(S_n=\frac{1}{2}・n\{2a+(n-1)d\}\)
末項(\(a+(n-1)d\))をbと置けば
\(S_n=\frac{n(a+b)}{2}\)
となります。末項がわかるときはこの形を利用するとスマートに求めることができます。
等差数列の和の公式を使う問題
それでは実際に等差数列の和の公式を練習問題で利用してみましょう。
問題
(1) 初項4、末項-30、項数17の等差数列の和Sを求めよ。
(2) 初項2、公差３，項数10の等差数列の和Sを求めよ。
解答・解説
(1)から解いていきます。
初項と末項がわかっているので、
\(S_n=\frac{n(a+b)}{2}\)
この形を利用すると楽に求めることができますね。
a=4,b=-30,n=17を代入すると
\begin{align}
S&=\frac{17(4+(-30))}{2}\\
&=-221・・・(答)
\end{align}
公式に代入するだけで等差数列の和を求めることができました。
(2)も解いてみます。こちらは末項がわからない場合なので、
\(S_n=\frac{1}{2}・n\{2a+(n-1)d\}\)
を利用します。
a=2,d=3,n=10を代入して
\begin{align}
S&=\frac{1}{2}・10\{2・2+(10-1)3\}\\
&=155・・・(答)
\end{align}
末項がわからない場合でも公式に代入することで和を求めることができます。
公式を覚えて等差数列をマスターしよう
等差数列をマスターするために、まずは公式を覚えましょう。
この記事で紹介したように公式の具体的な意味を考えることで覚えやすくなると思います。
また、等差数列の和の公式は少し複雑ですが、ど忘れしたときに思い出せるように導き方も合わせて覚えておきましょう。
ちなみに、等比数列や階差数列の基礎については以下の記事で詳しく解説されているので、こちらもぜひご覧ください！
