【3分でわかる!】三角関数の不等式の解き方

【3分でわかる!】三角関数の不等式の解き方
三角関数の不等式の解き方は、三角関数の問題を解く上で必須事項です。

不等式の解き方がわからなければ、倍角公式や半角公式を覚えても試験で活かせない可能性があります。

今回は、三角関数の不等式の解き方について、初めて学習する人にもわかりやすいように解説します。

三角関数の不等式というと難しいイメージを持っている人もいるかもしれないですが、図を書く手順を覚えれば誰でもできるようになります。

この記事を読んで三角関数の不等式の基本的な解き方をマスターしてください。

三角関数sinθの基本的な不等式の問題

今回解説する問題は以下のようなものです。

問題

\(0 ≦ θ ≦ π \)
のとき
\(sinθ<\frac{\sqrt{3}}{2}\)
を満たすθを求めよ。

つまり、「sinθがある範囲にあるときに、θはどういう範囲を取れるのか」という問題です。

この問題を解くためには、三角関数の方程式(三角方程式)の知識が必要です。

もし、三角関数から角度を求める方法がわからない場合は、以下の記事を読んでからこの記事を読むと理解しやすくなります。

【3分でわかる!】三角関数の角度の求め方、方程式の解き方

2017.03.21

1. sinθ=aを満たす角度を求める

不等式を解く上で最初にやることは、不等式を「sinθ=a」と置き換えた上でそれを満たす角度を求めることです。

sinθはy座標に対応するので単位円上でy=aと交わる点を求めると以下のようになります。

【3分でわかる!】三角関数の不等式の解き方

この図より30°、60°、90°の三角形が出来上がっていることがわかるので、

\(sinθ=\frac{\sqrt{3}}{2}\)を満たすθは

\(θ=\frac{π}{3},\frac{2π}{3}\)となります。

2. y=aの関係から不等式を解く

sinθ=aを満たす角度を求めたところで、次に不等式を解いていきます。

今回解く不等式はこちらです。

\(sinθ<\frac{\sqrt{3}}{2}\)

先程述べたように、sinθはy座標に対応するので、y座標が\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)以下になるθの値を求めます。

y座標が\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)以下になるθの値とは、直線y=\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)より下にあるということなので、図は以下のようになります。

【3分でわかる!】三角関数の不等式の解き方

この図の色付きの扇の部分からθを求めることができそうですが、その前に注意する点が2点あります。

1つは不等式が等号(イコール)付きかどうかです。

もし不等式に等号がついていた場合(≦など)、手順1で求めた\(θ=\frac{π}{3},\frac{2π}{3}\)も範囲に含まれることになります。

問題を解く際は、等号の有無をチェックし忘れないように注意しましょう。

図を書く際に等号がついている場合は塗りつぶしの●、等号なしのときは塗りすぶさない◯で図を書くとわかりやすくなります。

2つ目は問題で与えられたθの範囲です。今回の場合θの範囲は\(0 ≦θ ≦π\)です。

この範囲の中のθを求めるために先程の図に書き加えましょう。

【3分でわかる!】三角関数の不等式の解き方

求めるθは「y座標が\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)以下」かつ「\(0 ≦θ ≦π\)を満たす」範囲なので、

\(0≦θ<\frac{π}{3},\frac{2π}{3}<θ≦π \)

となります。

以上のように、sinθ=aを満たすθを求め、直線y=aとの位置関係を確認し、θの範囲を書き加えることで求めることができます。

ポイントは図を書くことです。

遠回りなようですが、一番確実でうっかりミスをしにくいので不等式の問題が出たら図を書く癖をつけるといいですよ。

三角関数cosθの基本的な不等式の問題

次にcosθを含む不等式の問題を解説します。

基本的にはsinのときと変わりませんが、cosθがx座標に対応するという点が異なります。

そのため、直線y=aではなく、直線x=aとの関係から考察します。

今回は以下の問題を解いてみます。

問題

\(0 < θ < π \)
のとき
\(cosθ≧-\frac{1}{2}\)
を満たすθを求めよ。

まずは \(cosθ≧-\frac{1}{2}\)を満たすθの値を求めます。

cosθはx座標に対応するので、単位円上で直線\(x=-\frac{1}{2}\)と交わる点を求めます。その直線より右側の領域が \(cosθ≧-\frac{1}{2}\)を満たす範囲なので図にすると以下のようになります。

【3分でわかる!】三角関数の不等式の解き方

\(cosθ=-\frac{1}{2}\)を満たすθはこの図より

\(θ=\frac{2π}{3},\frac{4π}{3}\)とわかります。

さらに、問題文の条件である\(0 < θ < π \)をこの図に加えると以下になります。

【3分でわかる!】三角関数の不等式の解き方

この図から「θの範囲内」かつ「\(cosθ≧-\frac{1}{2}\)」を満たすθを求めると

\(0<θ≦\frac{2π}{3}\)

を求めることができます。

このように図を書くことで、「問題文で与えられたθの範囲」と「\(cosθ≧-\frac{1}{2}\)を満たすθの範囲」を視覚的に把握することができます。

不等式の問題を解くときは必ず図を書くこと

以上のように三角関数の不等式の問題を解く際は、図を書いて求めることになります。

sin、cosがそれぞれy座標、x座標に対応すること、問題文で与えられたθの範囲を確認することなどは間違えやすいので注意しましょう。

この記事を参考にして、三角関数の不等式をマスターしましょう!