【3分で分かる!】ひし形の面積の公式

ひし形は問題として登場すること自体が少ない図形です。

しかし、いざ問題として出されると解き方によっては時間を大幅にロスをしがちな問題です。

そこで、今回公式やその解き方をしっかりと頭に入れることで最短でひし形の問題を攻略できるようにしましょう!

ひし形の面積の公式

そもそもひし形とは何だったのかを確認しておきます。

ひし形とは4つの辺が全て等しい四角形のことを言います。

また、対角線が直交する性質があります。

まずは、ひし形の面積の公式を紹介しておきます。証明は後でやります。

スクリーンショット 2017-06-23 1.02.12

上の図のようなひし形を考えます。このひし形の面積は\(AC×BD×\frac{ 1 }{ 2 }\)で求まります。

一般に、ひし形の面積は\((対角線)×((一方の対角線とは別の)対角線)×\frac{ 1 }{ 2 }\)で求まります。

以下にその証明を二種類紹介します。自分の好きな方で学習を進めていってください。

ひし形の面積の公式の証明(2種類)

証明 その1

一つ目の証明はひし形に合同な三角形をくっつけて長方形を作るやり方です。

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ここで上の図の中で右側の長方形について考えてみましょう。

この長方形の面積の求め方は(縦)×(横)です。

縦は\(AC\)のこと、横は\(BD\)であり、先ほどのひし形で言う所の対角線と一致しています。

よって、長方形の面積は\(AC(対角線)×BD(対角線)\)で求まります。

ところで、この長方形の面積はひし形の面積の2倍となっています。

よって、長方形の面積を\(×\frac{ 1 }{ 2 }\)すれば、元のひし形の面積になります。

こちらは元の図形に付け足す形の証明になっています。

次は違うやり方で、証明してみます。

証明  その2

2つ目の証明は、ひし形を4つの直角三角形に分割するやり方です。

対角線によって、ひし形を4つの直角三角形に分けると、その4つの直角三角形は全て合同になります。

一応証明としては、以下のようになります。

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よって、ひし形を以下のように分割して考えることができます。スクリーンショット 2017-06-23 2.49.44

直角三角形1つあたりの面積を考えると\(\frac{ 1 }{ 2 }AC×\frac{ 1 }{ 2 }BD×\frac{ 1 }{ 2 }=AC×BD×\frac{ 1 }{ 8 }\)となります。

この直角三角形4つ分の面積がひし形の面積に相当します。

よって、1つ分の面積を4倍して、求めるひし形の面積は\(AC×BD×\frac{ 1 }{ 2 }\)となります。

どちらのやり方も少々大変ですが、理屈は理解していただけたと思います。

ひし形の面積の公式を用いた練習問題(2題)

公式を理解したところで、確認も含めて練習問題を解いて見ましょう。

練習問題1

次のひし形の面積を求めよ。

スクリーンショット 2017-06-24 13.27.10

練習問題1の解答・解説

ひし形の面積の公式を用いれば、一瞬で面積が出ます。

求める面積は、\(6×10×\frac{ 1 }{ 2 }=30\)となります。

公式さえ覚えておけば無駄な作業や時間を省略することが可能です。

練習問題1

あるひし形がある。このひし形の面積は\(24\)であり、対角線の比が\(3:1\)であるという。

スクリーンショット 2017-06-24 14.05.04

このひし形の対角線の長さをそれぞれ求めよ。

問題1の解答・解説

今回は面積がわかっており、対角線の長さはわかっていません。

そこで求める長さを文字に置き換えて方程式を作ることを考えます。

対角線の長さの比は与えられているので、これを基に長さの置き換えをします。

具体的には問題の図において、\(AC:BD=1:3\)より\(AC\)を\(x\)、\(BD\)を\(3x\)と置くことができます。(ただし、\(x>0\))

そして、ひし形の面積の公式より

\(x×3x×\frac{ 1 }{ 2 }=24\)

整理して、\(x^2=16\)

\(x>0\)より、\(x=4\)であることがわかりました。

よって、対角線の長さはそれぞれ\(AC=4\)、\(BD=12\)となります。

まとめ:柔軟な思考で図形を捉える

いかがでしたか?

ひし形の面積は、実に色々な方法で求めることができます。

今回紹介した以外にも簡単な解き方もあるかもしれません。

ぜひ色々な解き方を試して、自分にあったスタイルを探してみてください!




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