【3分で分かる!】半角公式の覚え方と証明、使い方のコツ

【3分で分かる!】半角公式の覚え方と証明、使い方のコツ
三角関数の半角公式は、三角関数を扱う上でとても重要な公式です。

単に半角の三角関数の値を求めるだけでなく、次元を落とすために使われるなど使われる場面は広い公式です。

少し難しいかもしれませんが、公式を覚えて問題を解いていけば必ずマスターできるようになります。

今回は、半角公式を初めて学習する人や復習したい人に向けて、公式の覚え方、証明の方法、さらに問題の解説を丁寧に行います。

ぜひ最後まで読んで、半角を完璧にマスターしましょう!

半角公式は、加法定理や倍角の公式などを基本としているので、それらの公式について知っているとスムーズに学習できます。もし知識を確認したい場合は、以下の記事でそれぞれ解説しています。

【3分で分かる!】加法定理の公式と証明、覚え方・使い方のコツまとめ

2017.03.04

【3分で分かる!】2倍角の公式の覚え方と証明、使い方のコツ

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半角の公式

まずは半角の公式を確認しましょう。今までの公式と比べて形が変わっているので覚えるのに時間が掛かるかもしれません。

【3分で分かる!】半角公式の覚え方と証明、使い方のコツ

公式の覚え方

三角関数は覚える公式が多いので、少しでも覚える公式を減らしたいですよね。

幸運にも半角の公式のうち覚える必要があるのはsinだけです。

\(sin^2\frac{θ}{2}=\frac{1-cosθ}{2}\)は「シンジ君は2階に引っ越す」

と覚えましょう。「引っ越す」が「-cosθ」を表しています。

他の公式を覚えるポイント

他の公式を覚えなくていい理由は簡単の導けるからです。

cosの半角公式は\(sin^2θ+cos^2θ=1\)に注目して導きましょう。

この性質があることより半角の場合であっても当然、

\(\sin^2\frac{θ}{2}+\cos^2\frac{θ}{2}=1\)が成り立ちます。

よって、1-(sinの半角公式)をするとことですぐにcosの半角公式が導けるのです。

\(1-\frac{1-\cosθ}{2}=\frac{1+\cosθ}{2}\)

また、tanも\(\tanθ=\frac{\sinθ}{\cosθ}\)を利用することで導くことができます。

これらの性質を利用してまずは公式を覚えてしまいましょう。

半角の公式の証明

公式を覚えたところで、証明を確認していきましょう。

証明というと難しいイメージを持っているかもしれませんが、難しく考える必要はありません。加法定理、倍角の公式を利用するだけで証明できるのです。

sinの半角公式の証明

2倍角の公式より

\(cos2θ=1-2sin^2θ\)

ここで、\(θを\frac{θ}{2}\)に置き換えると

\(cosθ=1-2sin^2\frac{θ}{2}\)

これを公式の形に整理すると

\(sin^2\frac{θ}{2}=\frac{1-cosθ}{2} \)

となります。以上で示すことができました。次はcosです。

cosの半角公式の証明

同様にcosの半角の公式も証明します。

2倍角の公式より

\(cos2θ=2cos^2θ-1\)

が成り立ちます。

ここで、\(θを\frac{θ}{2}\)に置き換えると

\(cosθ=2cos^2\frac{θ}{2}-1\)

となります。

これを整理すると

\(cos^2\frac{θ}{2}=\frac{1+cosθ}{2} \)

となります。よってcosの半角公式も証明することができました。

tanの半角公式の証明

\begin{align}
tan^2\frac{θ}{2}&=\frac{sin^2\frac{θ}{2}}{cos^2\frac{θ}{2}} \\
&=\frac{\frac{1-cosθ}{2}}{\frac{1+cosθ}{2}} \\
&=\frac{1-cosθ}{1+cosθ} \\ \end{align}

tanは解説を入れる間もなく証明が終わってしまうほど、簡単でしたね。

証明のポイント

半角公式の証明のポイントを端的に表すと、

cosの倍角の公式に\(\frac{θ}{2}\)を代入することです。

そうすると、後は式を整理することで証明できます。

また、tanは\(\frac{sinθ}{cosθ}\)から導くことができます。

これらのポイントを覚えておけば証明は怖くありませんね。

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