はじめに
数Ⅱで習う単元である対数。
指数はまだしも対数は、日常では聞かない言葉で混乱している人も多いのではないでしょうか？
そもそも対数と同じタイミングで出てくる指数とは何が違うか、ということもいまいちはっきりしませんよね。
そこで、今回は対数について、基本的なところから解説していこうと思います。また、混同しやすい指数との違いも解説しています。
ぜひこの記事で、対数をマスターしてみてください！
なお、指数についての記事はこちらになります。こちらも合わせて参照してみてくださいね。
対数とは？
まずは、基本事項から。そもそも対数とは何なのでしょうか？
簡単に言えば\(p=log_bx\)と表せるときの\(p\)のことですね。
高校生はもうこれだけ覚えるでOKです。
一応教科書に書いてあるような定義を載せておくと、
「\(a>0\)、\(a \neq 1\)のとき，正の数\(M\)に対して、\(a^p=M\)を満たす\(p\)がただ1つ定まる。
このときの\(p\)の値を、\(a\)を底（てい）とする\(M\)の対数といい、\(log_aM\)と書く。」
では、対数はいつ使うのでしょうか？使い物にならないものはできるだけ勉強したくありませんからね。
対数は、巨大数の計算を簡単にするために考案されたものです。
対数を使うことで、電卓でも計算できないような桁の大きな数も、紙の計算で解決できてしまうのです！
対数は、この意味でとても便利なものですので、とても大きな数を扱うときは非常に強力です。
また、対数という言葉の使い方ですが、例えば、「\(log_28\)」を「\(2\)を底とする\(8\)の対数」と数式を日本語に言い換えるときに使います。
対数を使う上で出てくる言葉「底」と「真数」について
ここでは、対数を使う上でとく出でくる言葉を簡単に紹介していきます。
まずは「底」という言葉です。
底とは例えば、「\(3\)を\(2\)乗したら\(9\)になる」ということを考えた時の、一番元の数。つまり\(3\)が底になります。
対数で表現した時は、底は以下の部分に表現されています。
注意点としては、底を\(b\)とすると、\(b\)は必ず\(0<b<1,1<b\)でなければなりません。
また底\(b\)が\(0<b<1\)であるか、\(1<b\)であるかによって、グラフの位置が全く違ってきます。
グラフについては、あとで解説していますので、確認してみてください。
次に「真数」という言葉もよく出てきます。
真数とは、先ほどの例の「\(3\)を\(2\)乗したら\(9\)になる」で考えると、最後に結果として出てくる数。つまり\(9\)が真数になります。
対数で表現した時は、底は以下の部分に表現されています。
真数には、1つ大きなルールがあります。それは、真数は必ず正になるということです。
これは、問題を解く上でとても大切なことですので、しっかりと押さえておきましょう！
指数と対数の違いについて
では、指数と対数という言葉にどんな違いがあるのでしょうか？
実は指数と対数って同じことを指しているのです！ただ表現の仕方が違うだけなんですね。
指数は\(a^x=b\)という風に表現し、\(x\)のことを言います。指数は、「\(a\)を\(x\)乗したらいくつになるか？」を考える時に使います。
一方対数は、\(x=log_ab\)という風に表現し、\(x\)のことを指します。対数は、「\(a\)を何乗したら\(b\)になるか？」を考える時に使います。
つまり、指数と対数は同じものを指していて、求めたい部分の焦点が違うということです。
最後に指数と対数の対応関係を押さえておきましょう。
よく出てくる常用対数について
さあ、いざ対数を学習していくと常用対数という言葉がよく出てきます。
この常用対数とは、何なのでしょうか？
常用対数とは、\(10\)を底とする対数のことです。ある数が\(10\)の何乗かを表したものとも言えそうです。
がしかし、なぜこれだけ名前がついているのでしょうか？
これは、今使われている数の表記の仕方と大きく関係しています。
今は、十進法が主流ですね。よって、\(10\)を底とする対数を使って実用上の数値計算に使われていたからなのですね。
まあ、よく使われる対数だから常用対数という名前なのでしょう。
では、これを高校数学ではどのように使うのかということが問題になってきます。
高校数学では、主に巨大な値の桁数や最高位の数を求めるのに使ったりします。
問題で何かとても大きな数が出てきたときは、常用対数を使うと考えておいてOKです。
対数のグラフについて
まず、大きく分けて二種類あります。
それは先ほども言いましたが、底が1より大きい時のグラフと、\(0\)より大きく\(1\)より小さい時のグラフです。
それでは具体的に見ていくことにしましょう。
まずは、底\(a\)が1よりも大きいときの\(y=log_ax\)のグラフです。
次は、底\(a\)が\(0<a<1\)のときの\(y=log_ax\)のグラフです。
対数関数を書く上での注意点は1つだけです。
それは、どんな時も点\((1,0)\)を通るということです。
このことに気をつけながら、\(x\)座標と\(y\)座標が整数になるような点をプロットして、滑らかに繋げればグラフは書けます。
グラフを書かせるような問題は少ないですが、大体のグラフの形は覚えておくと役に立ちますよ！
対数の重要公式（証明付き）
対数の公式は大きく3つあります。
これから1つずつ証明をしていきます。
まずは①です。
【対数の重要公式】\(\log_{ a } MN=\log_{ a } M+\log_{ a } N\)
これは指数を使って証明します。
まず、\(\log_{ a } M=x\)、\(\log_{ a } N=y\)とする。
対数の定義より、
\(M=a^x\)、\(N=a^y\)
とできる。
\(a^{x+y}=a^xa^y=MN\)
底を\(a\)とする定数をとって、
\(\log_{ a } a^{x+y}=\log_{ a } MN\)
\(x+y=\log_{ a } MN\)
よって、\[\style{ color:red; }{ \log_{ a } MN=\log_{ a } M+\log_{ a } N }\]
【対数の重要公式】\(\log_{ a } M^x=x\log_{ a } M\)
先に③を証明しましょう。
指数法則を使います。
\(\log_{ a } M=k\)とおく。
対数の定義より、
\(a^k=M\)
指数法則を使って、
\(a^{kx}=M^x\)
底を\(a\)とする対数をとって
\(\log_{ a } a^{kx}=\log_{ a } M^x\)
\(kx=\log_{ a } M^x\)
元に戻して、\[\style{ color:red; }{ \log_{ a } M^x=x\log_{ a } M }\]
【対数の重要公式】\(\log_{ a } \displaystyle \frac{ M }{ N }=\log_{ a } M-\log_{ a } N\)
これは、①③の証明ができていれば楽勝です。
①の証明においての\(N\)を\(\displaystyle \frac{ 1 }{ N }\)に置き換えます。
すると、
\(\log_{ a } \displaystyle \frac{ M }{ N }=\log_{ a } M+\log_{ a } \displaystyle \frac{ 1 }{ N }\)
となります。
③の公式より
\(\log_{ a } \displaystyle \frac{ 1 }{ N }=\log_{a}N^{-1}=-\log_{ a } N\)
となります。
だから、\[\style{ color:red; }{ \log_{ a } \displaystyle \frac{ M }{ N }=\log_{ a } M-\log_{ a } N }\]が成り立ちます。
その他の対数の公式：底の変換公式
最後に知っておくと良い公式を紹介しておこうと思います。
\(a,b,c>0\)かつ\(a,c \neq 1\)の時
\(\style{ color:red; }{ \log_{ a } b=\displaystyle \frac{ \log_{ c } b }{ \log_{ c } a } }\)
簡単に証明しておきます。使うのは対数の公式③です。
対数の定義より
\(a^{\log_{ a } b}=b\)
底を\(c\)とする対数をとって、
\(\log_{ c } a^{\log_{ a } b}=\log_{ c } b\)
\(\log_{ a } b×\log_{ c } a=\log_{ c } b\)
よって、\(\style{ color:red; }{ \log_{ a } b=\displaystyle \frac{ \log_{ c } b }{ \log_{ c } a } }\)
対数の練習問題
最後に対数の練習問題をやって終わりにしましょう。
問題1
次の計算をせよ。
\(\log_{ 2 } 10+\log_{ 2 } \displaystyle \frac{ 4 }{ 5 }\)
問題1の解答・解説
対数公式①を使って、まとめます。
\(\log_{ 2 } {10×\displaystyle \frac{ 4 }{ 5 }}=\log_{ 2 } 64\)
\(\log_{ 2 } 8=\log_{ 2 } 2^3=\style{ color:red; }{ 3 }\)
となります。
他にも対数の問題が解きたいという方はこちらの記事で演習しましょう！
おわりに
いかがでしたか？
対数は指数との関係が非常に強い単元です。対数を学習するときは、指数も念頭に置いて解くように心がけましょう。
