『数値を代入して実験することの大切さを知ろう！』2018年京都大学の数学入試問題に学ぶ「整数」

はじめに

今回は2018年京都大学の中で比較的簡単な問題で、理系と文系で一言一句違わない全く同じ問題が出題されています。

しかし、一見してもどういう解法を取れば良いのかよく分からないはずです。

王道の解法はなく、自分で解法の選択をする必要があります。

解答をすぐ見るのではなく、試行錯誤をして考えてみましょう。

1 はじめに
2 2018年京都大学の「整数」の問題を解いてみよう！
3 おわりに

2018年京都大学の「整数」の問題を解いてみよう！

2018年京都大学理系第2問/文系第3問

\(n^3-7n+9\)が素数となるような整数\(n\)を全て求めよ。

2018年京都大学理系第2問/文系第3問ヒント

ひとこと

素数だから(与式)\(=p\)と置きますか？

素数が絡む問題は素数を分離するのがセオリーですが今回は通用しません。

解法が思いつかなかかったらとにかく「実験」しましょう。色々な数字を代入してみると意外と解答の道筋が見つかるかもしれません。

とりあえず、方針を立てるため、\(n^3-7n+9\)にいくつかの数を代入して様子を見て見ましょう。

\(n=-2\)のとき、15
\(n=-1\)のとき、15
\(n=0\)のとき、9
\(n=1\)のとき、3(←素数)
\(n=2\)のとき、3(←素数)

どれも3の倍数ですね。
もしかしたら、 \(n^3-7n+9\)は任意の整数\(n\)において3の倍数になるのかもしれません。
これを証明できれば、 n=1、2で\(n^3-7n+9=3\)以外に素数がないことを示すことができます。

2018年京都大学理系第2問/文系第3問解説

\(n^3-7n+9\)が3の倍数になることを示したいので\(n=3k-1、 3k、 3k+1\)(\(k\)は任意の整数)としてみます。

(ⅰ)
\(n=3k-1\)のとき
\(
n^3-7n+9\\
=(3k-1)^3-7(3k-1)+9\\
=(27k^3-27k^2+9k-1)-(21k-7)+9\\
=27k^3-27k^2-12k+15\\
=3(9k^3-9k^2-4k+5)\\
\)
(ⅱ)
\(n=3k\)のとき
\(
n^3-7n+9\\
=(3k)^3-7(3k)+9\\
=27k^3-21k+9\\
=3(9k^3-7k+3)\\
\)
(ⅲ)
\(n=3k+1\)のとき
\(
n^3-7n+9\\
=(3k+1)^3-7(3k+1)+9\\
=(27k^3+27k^2+9k+1)-(21k+7)+9\\
=27k^3+27k^2-12k+3\\
=3(9k^3+9k^2-4k+1)\\
\)

以上(ⅰ)〜(ⅲ)の
\(
9k^3-9k^2-4k+5、\\
9k^3-7k+3、\\
9k^3+9k^2-4k+1\\
\)
は全て整数であるので、 \(n=3k-1、 3k、 3k+1\)のとき、 \(n^3-7n+9\)は3の倍数であり、これは任意の整数で\(n^3-7n+9\)は\(3\)の倍数であることと同義である。

上記のようにすれば任意の整数で\(n^3-7n+9\)が\(3\)の倍数であることが示せます。

\(3\)の倍数のうちで素数は\(3\)のみなので、 \(n^3-7n+9=3\)となる\(n\)を考えます。