【3分で分かる!】因数分解の公式と解き方のコツ・練習問題と解説まとめ

【誰でも分かる!】因数分解の公式と解き方のコツ・練習問題と解説まとめ
この記事は 2017年03月22日に更新されました。
因数分解は数ⅠAの範囲でとても重要な分野です。

今回は慶應大学に通う筆者が、これから因数分解の勉強を始める人にはもちろん、理解が曖昧で復習したい人にも分かりやすく因数分解の公式と解き方のコツを解説します!
ぜひ最後まで読んで、因数分解を完璧にマスターしましょう!

※素因数分解については、以下の記事をご覧ください。

【3分で分かる!】素因数分解のやり方と解き方のコツ

因数分解とは?

因数分解とは、多項式を1次以上の多項式の積の形に変形することを指します。

このとき、積を作っているそれぞれの式を、もとの式の因数といいます。

因数分解の基本は、
$$na+nb+nc=n(a+b+c)$$
のように、各項に共通な因数(この場合はn)があれば、その共通因数をかっこの外にくくり出すことです。

例えば、
$$3x^2+9x$$
という式があるとき、共通因数でくくり出すと、以下のようになります。

$$3x^2+9x=3x(x+3)$$

このとき、3xが共通因数となります。

注意しなければならないのは、因数分解では各因数をもうそれ以上くくり出せないように変形する必要があります。

上の式は、
$$3x^2+9x=x(3x+9)$$
とも変形できますが、3x+9はまだ3でくくりだすことができますよね。
この変形だと因数分解としては不十分です。

『かっこの中は、これ以上因数分解できないか』を必ず確認しましょう!

因数分解の基礎

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2次式の因数分解の公式と『たすきがけ』の使い方

2次式の因数分解の公式

では、次に因数分解の基礎となる、2次式の因数分解の公式を紹介します。
2次式の因数分解の公式は大きく4つあります。

④は一見複雑な公式に見えますが、次に説明するたすきがけをマスターして覚えてしまいましょう!

2次式の因数分解の公式

因数分解の基本①:『たすきがけ』とは?

2次式の因数分解は『たすきがけ』を使うと解くことができます。

$$Ax^2+Bx+C$$
を因数分解することを考えてみましょう。

たすきがけで考えると、
$$a\times c=A\\
b\times d=C\\
ad+bc=B$$
となるような、a,b,c,dの組み合わせを見つければ
$$Ax^2+Bx+C=(ax+b)(cx+d)$$と因数分解できます。

因数分解の基本①:『たすきがけ』とは?

因数分解の基本②:『たすきがけ』のやり方

具体的な数式で、たすきがけののやり方を解説していきます。

例題

$$3x^2+11x+6$$

解説・解答

たすきがけで考えると、
$$a\times c=3\\
b\times d=6\\
ad+bc=11$$
となるような、a,b,c,dの組み合わせを見つければ

$$3x^2+11x+6=(ax+b)(cx+d)$$
のように因数分解できるわけです。

この問題場合、すべての条件を満たすa,b,c,dの組み合わせは、
a=3,b=2,c=1,d=3で、以下のように因数分解できます。

$$3x^2+11x+6\\
=(3x+2)(x+3)$$

因数分解の基本②:『たすきがけ』のやり方

くり返し練習すれば、すぐに組み合わせを見つけられるようになる!

たすきがけはいろいろな組み合わせが考えられます。
例えば、積が6となる2つの数字だとb=1、d=6とも考えられますよね。

しかしそれだと、たすきがけでクロスの積の和が11にはなりません。
クロスの積の和が11になるように、a,b,c,dの組み合わせを考える必要があるのです。

最初はすぐに組み合わせを見つけられないかもしれません。
でも練習を重ねることで、早く正しい組み合わせを見つけることができるようになります。

根気よく、練習を積み重ねていきましょう!

3次式の因数分解の公式と覚え方

3次式の因数分解の公式

次に、3次式の因数分解について解説していきます。
まず3次式の因数分解には4つの公式があります。
2次式の公式と同様、3次式の公式もしっかり覚えましょう。

3次式の因数分解の公式

①②の公式は、符号に注意が必要です。
暗記の際は、次のまとめを参考にしてください!

3次式の因数分解の公式の覚え方

因数分解の解き方の手順

公式とたすきがけのやり方が分かったところで、実際に因数分解の解き方の手順を解説していきます。
因数分解の問題は以下の手順で解いていきましょう。

【因数分解の解き方の手順】
①共通項でくくり出す
②公式やたすきがけが使えないか検討する
③おき換えができないか検討する
④最低次数の1つの文字で整理する

順に説明していきます。

①共通項でくくり出す

まずはいきなり公式を使おうとするのではなく、共通項でくくり出せないかを確認しましょう。

問題1

$$3x^2-9x+6$$

問題1の解答・解説

まずは共通項である3でくくりましょう。
そうすると、式の見通しが良くなり、因数分解がしやすくなります。

$$3x^2-9x+6\\
=3(x^2-3x+2)\\
=3(x-1)(x-2)$$

②公式やたすきがけが使えないか検討する

次に、公式があてはまらないかを確認します。
たすきがけも使ってみましょう。

問題2

$$x^2-14x+49$$

問題2の解答・解説

これは2次式の因数分解の公式がそのまま使えますね。

$$x^2+14x+49\\
=(x+7)^2$$

問題3

$$64x^3-1$$

問題3の解答・解説

これは3次式の因数分解の公式がそのまま使えます。

$$64x^3-1\\
=(4x)^3-(1)^3\\
=(4x-1)(16x^2+4x+1)$$

問題4

$$2x^2+5x+3$$

問題4の解答・解説

これは公式は使えないので、たすきがけで解きましょう。

$$a\times c=2\\
b\times d=3\\
ad+bc=5$$
となるような、a,b,c,dの組み合わせを見つけれるんでしたね。

$$2x^2+5x+3\\
=(x+1)(2x+3)$$

③置き換えができないか検討する

一見公式が使えなそうな問題や、複雑に見える問題でも置き換えをすることで因数分解できることがあります。

問題5

$$(x+1)^2-3(x+1)+2$$

問題5の解答・解説

一見複雑な問題に見えますが、
$$x+1=A$$
と置き換えしてみると、
$$A^2-3A+2$$
簡単な因数分解の問題になります!

$$A^2-3A+2\\
=(A-1)(A-2)\\
=((x+1)-1)((x+1)-2)\\
=x(x-1)$$

④最低次数の1つの文字で整理する

①②③で解けない場合、④最低次数の1つの文字で整理してみましょう。

問題6

$$x^2+xy+3x+y+2$$

問題6の解答・解説

この問題は、xについての2次式、yについての1次式です。
そこで、yについて整理をしてみましょう。

$$x^2+xy+3x+y+2\\
=(x+1)y+x^2+3x+2\\
=(x+1)y+(x+1)(x+2)\\
=(x+1)(y+x+2)$$

因数分解は何度も練習してマスターしよう!

因数分解はパズルのようで、難しい問題であればあるほど、解けたときの快感はたまりません!(笑)

まず公式をしっかり覚えましょう。
そして問題数をこなしていけば、自然と数式を見ただけで、因数分解ができるようになっていきますよ。

今回紹介した解き方を参考に、何度も練習して因数分解をマスターしてください。

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