【3分でわかる!】接弦定理の証明、使い方のコツ

接弦定理とは直線に接する円の弦のある角度が等しいことを表す定理です。

円周角の公式などと比べると出題される確率が低いので、対策を疎かにしてしまいやすいですが、使い方を知っておかないと試験本番で焦ることになるので要対策です。

今回は接弦定理の証明と使い方のコツを解説します。証明も比較的簡単な方なので、数学が苦手な方でも目を通しておくといいと思います!

接弦定理(公式)

接弦定理とは以下の通りです。

スライド2

つまり、円の接線ATとその接点Aを通る弦ABの作る角∠TABは、その角の内部にある孤に対する円周角∠ACBに等しいというものです。

言葉にすると複雑になってしまうので、この言葉だけ聞いて接弦定理のイメージが湧く人はいないと思います。

まずは上の図を見て、「接線と弦が作る角度と三角形の遠い方の角度が同じ」とざっくり捉えましょう。

接弦定理の証明

次に接弦定理の証明を行います。補助線を一本引くだけでほとんど証明が終わってしまうようなものなので、数学が苦手な人もチャレンジしてみましょう!

点Aを通る直径を描く

いきなりですが、今回の証明で一番大切な箇所です。

下図のように点Aを通る直径を書き、反対側をPとし、A、Bとそれぞれ結びます。

スライド3

∠ACBを∠PABで表す

APは直径であるから∠PBA=90です。

これより∠APBについて以下のことが成り立ちます。

∠APB=90°-∠PAB

円周角の定理より∠ACB=∠APBであるので、

∠ACB=90°-∠PAB・・・①

∠TABを∠PABで表す

次に∠TABに注目します。

ATは接線なので、当然

∠PAT=90°

が成り立ちます。

よって

∠TAB=90°-∠PAB・・・②

スライド4

①、②より

∠TAB=∠ACBが証明できました。

接弦定理の覚え方

接弦定理で間違えやすいのは「等しい角度の組み合わせ」を間違えてしまうことです。

遠い方の角と等しいのですが、試験本番になると混同してしまい間違えてしまうことがあります。

そんなときは、極端な図を描くようにすれば絶対に間違えることはありません。

遠い方と角度が同じになることが見た目で明らかになります。

スライド5

試験本番で忘れてしまったときは、さっと余白に書いて確かめましょう。

接弦定理の使い方

それでは実際に問題を解いて接弦定理を使ってみましょう。

問題

点A、B、Cは円Oの周上にある。
ATは点Aにおける円Oの接線である。
∠xの大きさを求めなさい.

スライド6

解答・解説

早速接弦定理を利用していきます。

接弦定理より、

∠ACB=∠TAB=67°

ここで三角形ABCの内角の和が180°であることより

∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°

よって

67°+x+45°=180°

これより

x=68°・・・(答)

接弦定理を利用することで簡単に求めることができました。

接弦定理が使えるかも、と常に思っておく

接弦定理自体は難しいことはありません。

しかし、円周角の定理といった頻繁に使う定理と比べて存在感がないために、試験本番で接弦定理を使うことを思いつかないことが考えられます。

いつでも接弦定理に思い当たれるように、練習問題を多くといて感覚を身に着けておきましょう。




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