三角柱の体積と表面積
三角柱は小学6年生のときに習います。
しかし、三角柱の体積・表面積は高校入試にも大学入試にも出題されるとても重要な単元です。
求め方や公式はとても単純でわかりやすいものなので、基礎知識はこれを機にしっかり押さえましょう！
初めて習う人も、公式を忘れてしまったという人もぜひ参考にしてください。
なお、三角柱と似た種類の図形である円柱の体積・表面積の求め方はこちらです↓
三角柱って？
まずは、三角柱とは何かについて確認していきましょう。図がイメージできますか？
ちなみに余談ですが、小学校で習う三角柱ですが、難関高校の入試問題でも出題されています。
上の問題は、東京都立日比谷高校の入試問題です。まず問題文が長い…
また、体積や表面積を求める問題ではありませんが、大学入試でも三角柱がベースとなっている問題をたまに見かけます。
上の問題は、東京工業大学の入試問題です。
いずれはこのような問題が解けるようになるとして、今回の内容は基礎ですので安心してください笑
さて、三角柱の説明に戻ります。
辞書的には三角柱とは、底面と上面の2面が三角形で3つの側面が長方形の立体図形のことです。
なお、底面と上面が正三角形の場合、その三角柱は正三角柱と呼ばれます。
また、よく似た図形に三角すいというものがありますが、三角すいは上面がなく、てっぺんがとがっています。
上の図のように、組み立ててある図のことを見取り図といいます。
一方で、見取り図を解体して、ぺらぺらの平面状にした図を展開図といいます。
また、三角柱について考えるときはこの展開図にも意識を向ける必要があります。
一般的に、三角柱の展開図は下のようになります。
この図は表面積を求める上でとても大切なので、ぜひ押さえておきましょう。
三角柱の体積の求め方（公式）
では最初に簡単な三角柱の体積の求め方から解説していきましょう！
求め方はとても単純で、「底面積\(×\)高さ」で体積は求められます。
三角柱、四角柱のように、「〜角柱」という名の付いている図形の面積は全て「底面積\(×\)高さ」で求めることができます。
また、円柱も「〜角柱」ではありませんが、同じグループです。
次は少し面倒な表面積の求め方に移っていこうと思います！
三角柱の表面積の求め方（公式）
表面積の求め方は、言葉で言うと簡単なのですが、実はかなり複雑です。
具体的な求め方に入る前に少し確認したいことがあります。
底面と上面の三角形(1つずつ)の面積のことを底面積と呼び、側面の長方形(3つ)の面積を側面積と呼びます。
これを図で確認していきましょう。
まずは底面積からです。
次に側面積です。見取り図だと、側面積がわかりづらいので展開図で説明していきます。
注意するべきは、底面積は底面・上面それぞれ底面積という名前がついていますが、側面積は3つの長方形を合わせての名称であるということです。
さて、表面積の求め方について説明していきます。
表面積は「(底面積)\(×2+\)(側面積)」で求めることができます。
これはつまり、三角柱を展開図として表したときの5つの面全ての図形の面積の和を求めることを同じです。
一応、公式的なものを提示しておきます。
上の展開図のように三角柱が展開できたとします。
(表面積)=(底面積)×2+(側面積)でしたので、
(表面積)=\(\displaystyle \frac{ 1 }{ 2 }bh×2+(ad+bd+cd)\)\[=bh+d(a+b+c)\]となります。
しかし、この公式自体にあまり重要性はありません。
とにかく表面積は「(底面積)×2+(側面積)」で求めるんだ！と覚えておくと応用が効きやすいですよ。
例題も解いておきましょう。
例題
次の三角柱の表面積を求めよ。
例題の解答・解説
この三角柱は１つ前の例題の三角柱と同じものです。
今回は表面積を求めます。やり方はもうすでに説明してありますね。
底面積については、図中に長さが与えられているので問題はないかと思います。
(底面積)\(=\displaystyle \frac{ 1 }{ 2 }×6×3=9\)
側面積については１つ長さの出ていない辺があります(図中の\(?\)の辺のこと)。
これは三平方の定理で求めることができますね。
三平方の定理について忘れてしまった、という人は今すぐ確認しておきましょう！
長さのまだわかっていない辺の長さを\(x\)とおきましょう。
三平方の定理より、
\(x^2=6^2+3^2\)
よって、\[x=3\sqrt{ 5 }\]になります。
(側面積)\(=4×(6+3+3\sqrt{ 5 })\)\[=36+12\sqrt{ 5 }\]
以上から求める表面積は\[9×2+36+12\sqrt{ 5 }\]\[\style{ color:red; }{ 54+12\sqrt{ 5 } }\]になります。
やはり表面積の方が体積に比べ、計算量が多くなりがちです。
しかし、やり方自体は固定されているので、学習を重ねて慣れていきましょう！
三角柱の体積・表面積の練習問題
では、最後に練習問題を解いていきましょう。
これまでの内容がちゃんと理解できているかチェックしてみてください。
問題1
次の三角柱の体積と表面積を求めよ。
問題1の解答・解説
体積についてはサクッと求められるようになりましょう。
(三角柱の体積)=(底面の三角形の面積)×(三角柱の高さ)でしたね。
この公式に当てはめていきます。
(体積)\(=(\displaystyle \frac{ 1 }{ 2 }×3×4)×7=\style{ color:red; }{ 42 }\)
になります。
次に表面積です。
今回は問題にある図に必要な長さが全部与えられているので、そのまま利用します。
(三角柱の表面積)
\(=\)(底面の三角形の面積(底面積))\(×2\)
\(+\)(側面の長方形3つの面積(側面積))
これを使って、
(表面積)
\(=(\displaystyle \frac{ 1 }{ 2 }×3×4)×2+{(3+4+5)×7}\)
\(=\style{ color:red; }{ 96 }\)
になります。
次の問題は少し応用ですが、高校入試で頻繁に見る三角柱の問題です。
問題2
下の図のような三角柱\(ABC-DEF\)を考える。
\(AB=4cm\)、\(BC=7cm\)、\(DA=6cm\)、\(\angle ABC=\angle DEF=90°\)とする。
線分\(EF\)上に\(CD\)の長さが最小になるように点\(P\)をとる。
また、線分\(BF\)と\(CP\)の交点を\(G\)とする。
以下の問いに答えよ。
(1)線分\(DF\)の長さを求めよ。
(2)線分\(PE\)の長さを求めよ。
(3)\(BG:GF\)を求めよ。
問題2の解答・解説
順に説明していきます。
まずは(1)からですが、これは三平方の定理を使うだけで答えが出てきます。
三平方の定理より
\(DF^2=DE^2+EF^2\)
\(DF^2=4^2+7^2=65\)
よって、\[\style{ color:red; }{ DF=\sqrt{ 65 }(cm) }\]
(2)に移ります。ここからは展開図で考えていかねばなりません。
なぜなら、\(P\)をどのようにとれば\(CD\)の長さが最小になるかは、展開図ではないと考えづらいからです。
まずは、点\(P\)や\(G\)を考える前の
三角柱\(ABC-DEF\)を書きます。
次に問題文中の「\(CP\)と\(PD\)の長さが最小になるように点\(P\)をとる」の意味を考えます。
すると、点\(C\)と\(D\)を結んでできた線分\(CD\)と線分\(EF\)との交点を\(P\)とすることで題意が満たせそうだと思うはずです。
あとは問題文に従って点\(G\)も書き加えていきます。
すると次のように展開図が完成します。
「\(D\)は3つあるのになんで、真ん中のとだけに結ぶんだ？」と思った人がいると思います。
線分\(CD\)の引き方ですが、線分\(CD\)が線分\(EF\)と交わるような\(D\)を選んで引きます。
でないと、\(P\)がうまく出てきてくれず、問題が解けなくなってしまいます。
ここまできたら、次は相似を使います。
ここでは相似の証明は省略します。知りたい方はこちらを参照してください。
\(\triangle DBC\)と\(\triangle DEP\)に着目します。
「2組の角がそれぞれ等しい」ことより、\(\triangle DBC∽\triangle DEP\)ですので、
\(PE:CB=DE:DB\)が成り立ちます。
よって、\(PE:7=4:10\)\[\style{ color:red; }{ PE=\displaystyle \frac{ 14 }{ 5 } }\]になります。
(3)も相似で解きます。
\(\triangle CBG\)と\(\triangle PFG\)に着目します。
ここも「2組の角がそれぞれ等しい」ことより、\(\triangle CBG∽\triangle PFG\)です。
よって、\[BG:FG=CB:PF\]が成り立ちます。
\(PF\)の長さについては(2)で求めた\(PE\)を使うと求められますよ。
\(PF=7-\displaystyle \frac{ 14 }{ 5 }=\displaystyle \frac{ 21 }{ 5 }\)
\(BG:FG=7:\displaystyle \frac{ 21 }{ 5 }\)
整理して、\[\style{ color:red; }{ BG:FG=5:3 }\]が答えです。
三角柱のまとめ
いかがでしたか？
三角柱の体積・表面積の問題は、入試問題レベルになると、少し難しく感じられたかもしれません。
しかし、基礎知識さえあればあとは練習量です。
ですので、難しい問題が今解けなくても基礎だけは理解するようにしましょう。
そうすれば、問題演習をしているうちに自然と実力がついてきます。
焦らずにじっくりと習得していきましょう！
