【3分で分かる!】円柱の体積・表面積の公式

円柱の問題は、中学から高校まで広く扱われる応用の効く単元となっています。

応用の問題にもきちんと対応できるように、これから解説をする体積と表面積の求め方をしっかりとマスターするところからまずは始めましょう!!

円柱の体積の求め方

円柱の体積の求め方に関しては、三角柱などの体積の求め方と変わりません。

〇〇柱の体積は、全て(底面積)×(高さ)で求まると覚えていて良いです。

円柱の場合でも、底面積が円になるだけで特に難しくはありません。

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後の練習問題で具体的に確認をしましょう!

円柱の表面積の求め方

表面積は底面積と側面積の和で求まります。

円柱の蓋をしている円も底面なので注意してください。

円柱は体積よりも表面積の方が求めるのが難しいです。

なぜかというと、底面積の2つの円の体積を求めるのは、体積と変わらず難しくありませんが、側面積の長方形の面積を求めるのが少々厄介だからです。

円柱の表面積を求める際、下の図のように図形を展開して求めます。

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2つの円は\(πr^2\)(\(r\)は円の半径)で求まります。

真ん中の長方形の縦は円柱の高さに相当します。

しかし、横はぱっと見だけでは情報が与えられていないので、長さがわかりません。

ここで、少し考えてみる必要があります。

実は、真ん中の長方形の横の長さは、底面の円の円周に相当します。

よって、円柱の側面の面積は(円柱の高さ)×(底面の円の円周)で求まることがわかりました。

ここで、体積も含めて求め方のまとめをしておこうと思います。

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円柱が絡んだ練習問題(2題)

それでは、実際に問題を解いてみましょう。

1問目は円柱の体積、2問目は表面積に関する問題です。

練習問題1

次の円柱の体積を求めよ。

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練習問題1の解答・解説

上で説明した体積の求め方を使います。

まず、底面積は底面の円の半径が\(2\)なので、\(2^2π=4π\)です。

次に、円柱の高さは\(5\)なので、求める円柱の体積は \(4π×5=\style{ color:red; }{20π }\)になります。

体積は、円の面積の公式と柱の体積の公式さえ覚えていれば、機械的に解けてしまいます。

練習問題2

練習問題1の円柱の表面積を求めよ。

練習問題2の解答・解説

表面積も上で説明した通り、1つずつやります。

底面積は、練習問題1で求めたように\(4π\)です。

表面積を求める場合、円柱の底と蓋に底面積があるので、2倍して\(8π\)となります。

参考までに図を載せておきます。

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次に側面積を求めます。

側面の長方形の縦の長さは円柱の高さと同じだったので、\(5\)です。

横の長さは底面の円の円周だったので、\(4π\)になります。

円周の長さは、円の半径を\(r\)とおくと\(2πr\)です。

よって、円柱の側面積は\(5×4π=20π\)となります。

以上より、最終的に円柱の表面積は\(8π+20π=\style{ color:red; }{28π}\)と求まりました。

体積よりも表面積の方がやることが多めですが、やることを段階的にしっかりこなせばミスは防げます。

まとめ:πの付け忘れに気をつけよ!

いかがでしたか?

基本的に他の柱と体積や表面積の求め方は同じなので、さほど困難を感じなかった人もいたかもしれません。

他の柱(例えば、三角柱など)との大きな違いは、円が絡んでくることで\(π\)が登場することです。

三角柱などの問題に慣れてしまっていると、いざ円柱が出題された時についつい\(π\)を忘れがちです。

円が出てきた=\(π\)が登場と機械的に覚え、もったいない失点をしないようにしましょう!