【3分で分かる!】三角錐の体積・表面積の求め方

こんにちは!

今回は三角錐の体積と表面積の求め方についてです。

三角錐の体積や表面積の問題はやり方がパターン化されていることが多いです。
したがって、公式さえ覚えてしまえば簡単なのですね。

しかし、三角錐の体積については微積と絡めて東大でも出題されているのですよ。
決して油断のできない単元であることもわかると思います。

ということで、この記事で三角錐の体積と表面積の求め方をマスターしてしまいましょう!
そのために、1ページ目で公式や基本事項の確認、2ページ目で公式の証明を丁寧に解説、3ページ目で練習問題にトライする形になっています。

ぜひ最後まで読んで理解してくださいね!
それではいきましょう!

三角錐とは何?基本事項を押さえよう!

まず三角錐とは何かを確認しておきましょう。

三角錐の定義は、「垂直断面が常に三角形になる錐体」です。
つまり、上から下に垂直に立体を切るとどこを切っても三角形になる錐体が三角錐であるということになります。

錐体(すいたい)というのは、「空間内の一点から放射状に伸びる直線によって形作られる錐状の立体図形の総称」です。
イメージとしては、ピラミッドや富士山などが挙げられます。

  • ピラミッド(四角錐に近い立体です)
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  • 富士山(円錐に近い立体です)
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    とにかく上が尖っている立体図形が錐体であると考えてもらってOKです。

    錐体の中で、垂直にスライスすると絶対に三角形になるものを、特に三角錐と呼んでいます。
    定義では上のような説明になりますが、単純に「底面が三角形だから三角錐」と覚えても構いません。

    また三角錐は、面が4、辺が6で構成されています。
    面が4つで構成されているので、三角錐は四面体とも呼ばれています。

    さらに三角錐には特殊なものもあります。
    構成する面が正三角形、または垂直断面が常に正三角形になる三角錐を正三角錐(正四面体)と呼びます。

    正四面体についてもっと知りたければ、こちらを参照してください。

    【3分で分かる!】正四面体の高さ・体積の求め方

    2017.06.17

    以上が三角錐の説明になります。
    では、次は三角錐にまつわる公式を確認していきましょう!

    三角錐の体積・表面積の公式を確認しよう!

    三角錐の体積の求め方の公式

    まずは三角錐の体積を求める公式です。
    こちらには非常に便利な公式が与えられています。

    それは、(三角錐の体積)=(底面積)×(高さ)×\(\style{ color:red; }{ \frac{ 1 }{ 3 } }\)です。

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    三角柱であれば、(三角錐の体積)=(底面積)×(高さ)で求めることができます。
    一方で、図形のてっぺんがとんがっている三角錐の体積を求める場合、必ず\(×\frac{ 1 }{ 3 }\)をします。

    なぜ\(×\frac{ 1 }{ 3 }\)をしなければならないのかについては、少し厄介な証明が必要なため後で詳しく解説します。
    難しければ、気にしなくても大丈夫です。

    基本的には、公式だけを覚えておけばここではOKです。
    とにかく\(×\frac{ 1 }{ 3 }\)を忘れないように気をつけてくださいね。

    三角錐の表面積の求め方の公式

    次は三角錐の表面積を求める公式です。
    表面積の方はいたって単純で、三角錐を構成している4つの面の面積を足し合わせれば求めることができます。

    (三角錐の表面積)=(底面積)+(側面積)

    表面積を求める際、くれぐれも底面積を見落さないでください。

    底面積も立派な表面積の一部ですので、合計で4つの三角形の面積を合成することになります。

    また表面積を考える場面では、展開図を考えてみることも大切です。
    これについてはあとの練習問題で確認してみましょう!

    では、ここでこれまで出てきた公式をおさらいしておきます。

    スクリーンショット 2017-06-19 0.38.09

    では次のページでは、体積の公式になぜ\(×\frac{ 1 }{ 3 }\)が必要なのか説明していくことにしましょう!

    次ページ:三角錐の体積の公式の証明を確認しよう!




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