【3分でわかる!】中点連結定理の証明、問題の解き方

中点連結定理は図形の問題で利用する機会の多い定理です。この定理を利用することで線分の長さを求めたり、平行であることを導くことができます。

中点連結定理は内容も理解しやすく、証明も簡単なのでさくっとマスターしてしまいましょう。

中点連結定理とは

中点連結定理とは以下のような定理です。

スライド2

三角形の2辺の中点を結んだ線は、残りの辺と平行であり、線分の長さが半分になるという定理です。

この定理を用いることで、①平行であること②線分の長さが半分である、という2つのことを導くことができるので両方とも忘れないようにしましょう。

中点連結定理の証明

次に中点連結定理の証明を行います。中点連結定理は三角形の相似を利用して比較的簡単に証明することができるので、是非自分で証明してみましょう。

証明の方針

スライド3

まず、上の図において、△ABCと△AMNが相似であることを示します。

2つの三角形が相似であることを示せると、相似の性質より辺の比を元にしてMNがBCの半分であることを導けます。

また、相似より∠AMNと∠ABCが等しいので同位角が等しいことから平行であることも示せます。

では、順番に追って説明していきます。

△ABCと△AMNが相似

△ABCと△AMNが相似であることは簡単に示すことができます。

まず∠Aを共有しているので∠BAC=∠MANです。

また、AM:AN=\(\frac{1}{2}\)AB:\(\frac{1}{2}\)AC=AB:ACです。

よって、2辺の比とその間の角がそれぞれ等しいため、△ABCと△AMNは相似であることが示されました。

相似であることから導く

△ABCと△AMNは相似であるため、BC:MN=AB:AM=2:1となります。

よって、MNの長さはBCの長さの半分となります。

また、相似であることより、∠ABC=∠AMNです。よって、BC,MNの同位角が等しいため2つの線分が平行だといえます。

以上のことより中点連結定理が成り立ちます。

△ABCと△AMNが相似であることを証明すれば中点連結定理を証明することができるので覚えておきましょう。

中点連結定理の問題

問題1

次の図のMNを求めよ。

スライド5

問題1の解答・解説

これは中点連結定理をそのまま利用するだけで求めることができますね。

中点連結定理よりMNはBCの半分なのでMN=4です。

この問題のようにM,Nが予めAB,ACの中点であることがわかっているときはそのまま適用するだけで解くことができます。

しかし、実際の問題ではM,Nが中点であることを求めたあとに中点連結定理を用いる必要があることもあります。

問題2

次の図形のLM,MN,NLの長さを求めよ。

スライド6

問題2の解答・解説

この問題も中点連結定理を知らなければ混乱してしまいそうな問題ですが、きちんと理解していれば大丈夫ですね。

それぞれ中天連結定理で対辺の長さを半分にすれば求められるので

LM=4,MN=5,NL=6だとわかります。

台形の中点連結定理

三角形の中点連結定理が一般的ですが、台形においても同様に中点連結定理が成り立つので、紹介しておきます。

台形の中点連結定理は以下のようなものです。

スライド4

三角形の中点連結定理ほど一般的ではないので、結論だけ覚えておけば良いです。

中点連結定理は「平行」と「線分の長さが半分」の両方をチェック

中点連結定理は線分の長さを求める数値問題にも、証明問題にも出てくる可能性がある定理です。

中点連結定理から平行であることと、線分の長さが半分であることの両方を導くことができるのでどちらか片方を忘れてしまわないように注意しましょう。

あと中点連結定理自体の存在を問題を解くときに忘れてしまいやすいので、問題の中で三角形の中点が出てきたらとりあえず中点連結定理が利用できないか確認してみましょう。




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