2倍角の公式の覚え方・証明方法・使い方のコツ
2倍角の公式は特に使用頻度の高い公式です。三角関数の問題が出たら、まず使うといっても過言ではないでしょう。
そして、3倍角の公式、半角の公式といった公式を理解する上で基礎となる公式です。
2倍角の公式を曖昧にしたままでは、今後必ずつまづいてしまいます。
この記事では2倍角の公式の覚え方から、その証明方法、使う上でのコツを丁寧に解説するので、初めて2倍角を知る方や、復習したい方はぜ読んでください。
目次
2倍角の公式とその覚え方（語呂合わせ）
2倍角の公式
2倍角の公式は以下のようになっています。
cosθは3種類の公式があるのですが、どれも\(sin^2θ+cos^2θ=1\)を利用して展開しているだけなので、1つ覚えておけば十分です。
この公式を利用することで、
sinθ、cosθ、tanθの値さえ与えられていれば、
sin2θ、cos2θ、tan2θの値が求められます！
2倍角の公式の覚え方（語呂合わせ）
- \(2sinθcosθ\)は「庭に咲いたコスモス」
- \(2cos^2θ-1\)は「ニコス（カード）に1万引かれる」
- \(tan2θ=\frac{2tanθ}{1-tan^2θ}\)は「1マイタンタン、2タン」
語呂を紹介しましたが、倍角の公式は加法定理から一瞬で導くことができるためわざわざゴロで覚えなくても大丈夫なのです。
むしろ覚える語呂が増えるとなんの語呂を覚えたか忘れてしまいます。
これからの証明の解説で「なんだそれだけか！」と思ってもらえると思うので、この頃は参考程度するといいですよ。
また、倍角の公式は使用頻度が高いので自然と形を覚えることができます。
2倍角の公式の証明
2倍角の証明は幸運なことに驚くほど簡単です。
2倍角の公式の証明は加法定理の理解を前提にしています。
加法定理を忘れてしまったり、理解が曖昧な方は以下の記事で丁寧に解説しているので参考にしてください。
倍角の公式の証明【sin編】
それではsin2θから証明していきます。
\begin{align}
sin2θ&=sin(θ+θ) \\
&=sinθcosθ+sinθcosθ \\
&=2sinθcosθ（証明終了）
\end{align}
数行で終わってしまいましたね。
要するに2倍角の公式は加法定理のαとβが同じ場合に過ぎないのです。
そのため、加法定理の公式に代入するだけで簡単に求められます。
2倍角の公式の証明【cos編】
cosでも同様です。
\begin{align}
cos2θ&=cos(θ+θ) \\
&=cosθcosθ-sinθsinθ \\
&=cos^2θ-sin^2θ \\
&=2cos^2θ-1 \\
&=1-2sin^2θ （証明終了）\\
\end{align}
cosの2倍角の3パターンの公式が数行で導かれました。
こちらもただ加法定理にθを代入するだけで証明できています。
cosの倍角の公式は3パターンありますが、本質的な違いがあるわけではありません。
\(sin^2θ+cos^2θ=1\)という三角関数の性質を利用して形を変えているだけです。
惑わされないように注意しましょう。
- \(cosθ\)がわかっているときは、\(2cos^2θ-1\)を
- \(sinθ\)がわかっているときは、\(1-2sin^2θ\)を
といったように使い分けるようになることができれば完璧です。
2倍角の公式の証明【tan編】
最後にtanの2倍角の公式も証明しましょう。
やはりtanの場合も同様に、加法定理を利用するだけで証明できてしまいます。
\begin{align}
tan2θ&=tan(θ+θ) \\
&=\frac{tanθ+tanθ}{1-tanθ・tanθ} \\
&=\frac{2tanθ}{1-tan^2θ} （証明終了）
\end{align}
こちらも簡単に証明できてしまいましたね。
以上のように2倍角の公式の証明は非常に簡単です。
そのためほとんどの受験生は倍角の公式で間違えることはありません。
間違えたら必ず差がついてしまう問題と思って確実に理解しておきましょう。
2倍角の公式の使い方
それでは実際の問題を通して2倍角の公式の使い方をマスターしましょう。
2倍角の公式を使う問題
αは第2象限の角であり、\(sinα=\frac{4}{5}\)である。
このとき、sin2α、cos2α、tan2αの値を求めなさい。
2倍角の公式を使う問題の解き方
与えられているのはsinαのみであるので、まず最初にcosαを求める必要があります。
\(sin^2α+cos^2α=1\)であるから
\begin{align}
cos^2α&=1-sin^2α \\
&=1-(\frac{4}{5})^2 \\
&=\frac{9}{25}
\end{align}
αは第2象限の角であるから、cosα<0
よって、\(cosα=-\frac{3}{5}\)
これで、sinα、cosαの値がわかったので2倍角の公式を利用して、
\begin{align}
sin2α&=2sinαcosα \\
&=2・\frac{4}{5}・(-\frac{3}{5}) \\
&=-\frac{24}{25} ・・・（答）
\end{align}
これでsin2αが求まりました。次にcos2αを求めます。
\begin{align}
cos2α&=cos^2α-sin^2α \\
&=(-\frac{3}{5})^2-(\frac{4}{5})^2 \\
&= -\frac{7}{25} ・・・(答)
\end{align}
最後にtan2αを求めましょう。
tanの2倍角の公式を利用しても良いですが、sin2α、cos2αが求まっているのでそれらを利用する方が楽に求められますね。
\begin{align}
tan2α&=\frac{sin2α}{cos2α} \\
&=\frac{24}{7} ・・・(答)
\end{align}
別解
tan2αを倍角の公式を利用して求めてみましょう。
まずはtanαから求めます。
\begin{align}
tanα&=\frac{sinα}{cosα} \\
&=-\frac{4}{3} \\
\end{align}
次に、2倍角の公式を利用していきます。
\begin{align}
tan2α&=\frac{2tanα}{1-tan^2α} \\
&=\frac{2・(-\frac{4}{3})}{1-(-\frac{4}{3})^2} \\
&=\frac{24}{7} ・・・(答) \\
\end{align}
1回tanαを求めることになるので2度手間になりますが、2倍角の公式を使っても求めることができましたね。
2倍角の公式は三角関数の基本中の基本
以上のように2倍角の公式は加法定理から簡単に導くことができるので、「思ったよりも難しくない」と感じた方も多いのではないでしょうか。
角の2倍のイメージがつきにくい人は、30°,45°などの具体的な値で計算すると実感がつかめて良いと思います。
ど忘れしてしまっても加法定理の公式に代入することで、すぐに導くことができるのでケアレスミスも防ぐことができますね。
ただ、実際の問題の中で「cosαは正だけど、cos2αは負」といったようなことが起きてくるので、できるだけ図を書くなどして全体像を把握し、角の大きさ、sin・cosの正負に注意しましょう。
