【数学B】等比数列の要点まとめ

具体例
例えば、 1,3,9,27,81,… という数列は、

3 ÷ 1 = 3
9 ÷ 3 = 3
27 ÷ 9 = 3

というように、1個手前の項で割った商(比)は3ですね。これが公比です。

具体例
先ほどの例でいうと、

1 × 3 = 3
3 × 3 = 9
9 × 3 = 27

ということです。

くわしい説明

この図からもわかるように、例えば第3項は初項に\(r\)を2回かけたものですね。

第4項は3回、第5項は4回、というように繰り返していくと、

第\(n\)項は初項に\(r\)を\(n-1\)回かけたものだということが分かります。

だから \(a_n = a_1 \cdot r^{n-1}\) という式が出てくるんです。

くわしい説明
\(r \ne 1\) のとき、

$$
S_n = a_1 + a_1 r + a_1 r^2 + a_1 r^3 + …… + a_1 r^{n-1}
$$

両辺に\(r\)をかけると、
$$
r \cdot S_n = a_1 r + a_1 r^2 + a_1 r^3 + …… + a_1 r^{n-1} + a_1 r^n
$$

上の式から下の式を引くと、
$$
(1-r)S_n = a_1 – a_1 r^n
$$
となるから、
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{1-r^n}{1-r}
$$

\(r = 1\) のとき、

$$
S_n = a_1 + a_1 + a_1 + …… + a_1 = na_1
$$

くわしい説明
数列\(\{a,b,c\}\)が等比数列のとき、
$$
\frac{b}{a} = \frac{c}{b}
$$
が成り立ちますから、両辺をab倍して、
$$
b^2 = a \cdot c
$$
となります。

解き方の説明
まずは数列\(\{-3,6,-12,24,…\}\)の一般項を計算しましょう。

初項が−3、公比は−2ですから、
$$
a_n = -3 \cdot (-2)^{n-1}
$$
ですね。

公比\(r\)は1ではないので、等比数列の和の公式：
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{1-r^n}{1-r}
$$
を使って計算すると、

\begin{eqnarray}
S_5 &=& (-3) \cdot \frac{1-(-2)^5}{1-(-2)} &=& -31\\
S_{10} &=& (-3) \cdot \frac{1-(-2)^{10}}{1-(-2)} &=& 1023
\end{eqnarray}

となるので、【ポイント】の通りに計算すると、求める値は
$$
S = S_{10} – S_5 = 1054
$$
となります。

解き方の説明
まず、問題文に書いてあることを数式で表してみましょう。

は、【ポイント】の❷を使うと
$$
b = a \cdot r, c = a \cdot r^2\\
$$
と表すことができます。❶に比べて、変数の数が1個減るので解きやすいですね。

の部分は
\begin{eqnarray}
a + ar + ar^2 = 26 \tag{1}\\
a \cdot ar \cdot ar^2 = (ar)^3 = 216 \tag{2}
\end{eqnarray}
となります。

この2つの式を連立させて解けば答えが出ますね。

(2)より、\(ar = 6\)となるので、\(b = 6\)。(※\(ar = 6\) 以外の解は複素数になるので不適です。)

すると(1)は
$$
a + 6 + 6r = 26
$$
となるので、
$$
a = 20 – 6r
$$
と変形して\(ar = 6\)に代入して整理すると
$$
3r^2 – 10r + 3 = 0
$$
これを解いて\(r = 3, \frac{1}{3}\)となります。

\(r = 3\)のとき\(a = 2\), \(r = \frac{1}{3}\)のとき\(a = 18\)となるので、答えは
$$
(a, b, c) = (2, 6, 18), (18, 6, 2)
$$
です。