【3分で分かる!】メネラウスの定理とその証明・使い方など

メネラウスの定理とは?

メネラウスの定理とは、
1
このような図形に対し、
$$ \frac{AD}{DB}\times\frac{BE}{EC}\times\frac{CF}{FA}=1 $$
が成り立つという定理です。

高校数学では上図のような形で出るのがほとんどですが、厳密には三角形と任意の直線について成り立ちます。

メネラウスの定理
直線\(AB, BC, CA\)と直線\(l\)の交点をそれぞれ\(D,E,F\)とすると、
menelaus2
$$ \frac{AD}{DB}\times\frac{BE}{EC}\times\frac{CF}{FA}=1 $$

メネラウスの定理の覚え方

先ほどの厳密な方で考えると、

\(A\)→\(AB\)と\(l\)の交点→\(B\)→\(BC\)と\(l\)の交点→\(C\)→\(CA\)と\(l\)の交点→\(A\)

と回るときに通る線分を分子→分母→分子→分母→分子→分母のようにして掛け算すると1になる。と覚えればいいわけですが、これだとピンと来ない人も多いと思います。

そこで、次のように動きで覚えてしまいましょう。
menelaus_quick

「行って戻って跳ねていく」感じですね。赤が分子、青が分母にくる線分です。

$$ \frac{\style{color:red;}{AD}}{\style{color:blue;}{DB}}\times\frac{\style{color:red;}{BE}}{\style{color:blue;}{EC}}\times\frac{\style{color:red;}{CF}}{\style{color:blue;}{FA}}=1 $$

メネラウスの定理の証明

メネラウスの定理の証明方法はいろいろありますが、もっともわかりやすいのが面積比による証明です。

menelaus3
\begin{eqnarray}
△AED = a\\
△BED = b\\
△CED = c
\end{eqnarray}
とおくと、

まず\(△AED\)と\(△BED\)は高さが同じなので、(底辺の長さの比)\(=\)(面積比)ですから
$$ \frac{AD}{DB} = \frac{a}{b} $$

次に\(△BED\)と\(△CED\)も高さが同じなので、
$$ \frac{BE}{EC} = \frac{b}{c} $$

最後に\(△CED\)と\(△AED\)は底辺(\(DE\))が共通ですから、(高さの比)\(=\)(面積比)となります。この場合、高さの比と線分\(CF, FA\)の比は等しいので
$$ \frac{CF}{FA} = \frac{c}{a} $$

以上の式から、
$$ \frac{AD}{DB}\times\frac{BE}{EC}\times\frac{CF}{FA} = \frac{a}{b}\times\frac{b}{c}\times\frac{c}{a} = 1 $$
となり、メネラウスの定理が証明できました!

メネラウスの定理の練習問題

それではメネラウスの定理を使う練習をしてみましょう。

例題:下図において、線分\(DE, EF\)の比を求めよ。
menelaus
今までは\(A\)から\(D\)に行ってから\(B\)に戻っていましたが、今回はまず\(A\)から\(C\)の方向に行ってみましょう。

メネラウスの定理より、
$$ \frac{AC}{CF}\times\frac{FE}{ED}\times\frac{DB}{BA} = 1 $$
各線分の長さを代入すると、
$$ \frac{5}{3}\times\frac{FE}{ED}\times\frac{1}{1} = 1 $$

よって\(DE:EF=5:3\)

先ほどの「厳密な定義」の方で直線\(AB, BC, CA\)と直線\(l\)の交点を\(D, E, F\)としていましたが、この問題では直線\(AD, DF, FA\)と直線\(l\)の交点を\(B, E, C\)と解釈してメネラウスの定理を使ったわけですね。

このように一つの図形に対して複数の見方があり、それぞれの見方に対してメネラウスの定理の形が変わるということを覚えておいてください!

ベクトルの問題の裏ワザとして!

大学入試では上の練習問題のようにメネラウスの定理使うだけの問題はなかなか出題されません。面積やベクトルなどを求める過程で線分の比が必要になったときに使うことの方が多いです。

たとえば次のような問題ではメネラウスの定理を使うと効果的!
例題:次の図において\(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}\)をそれぞれ\(\vec{a}, \vec{b}\)としたとき、\(\overrightarrow{OE}\)を\(\vec{a},\vec{b}\)で表せ。
ファイル_000
図より
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{OC} = \frac{1}{2}\vec{a}\\
\overrightarrow{OD} = \frac{1}{3}\vec{b}
\end{eqnarray}

メネラウスの定理を使わない場合
\(0<s<1, 0<t<1\)として
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{OE} &=& s\overrightarrow{OA}+(1-s)\overrightarrow{OD}\\
&=& t\overrightarrow{OC}+(1-t)\overrightarrow{OB}
\end{eqnarray}
とおく。

\begin{eqnarray}
\overrightarrow{OC} = \frac{1}{2}\vec{a}\\
\overrightarrow{OD} = \frac{1}{3}\vec{b}
\end{eqnarray}
を代入すると、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{OE} &=& s\vec{a}+\frac{1}{3}(1-s)\vec{b}\\
&=& \frac{1}{2}t\vec{a}+(1-t)\vec{b}
\end{eqnarray}

2つの表し方は一致するので、
\begin{cases}
s=\frac{1}{2}t\\
\frac{1}{3}(1-s)=1-t
\end{cases}
よって\((s,t)=(\frac{2}{5},\frac{4}{5})\)

∴\(\overrightarrow{OE}=\frac{2}{5}\vec{a}+\frac{1}{5}\vec{b}\)

メネラウスの定理を使う場合
メネラウスの定理より
$$ \frac{OA}{AC}\times\frac{CE}{EB}\times\frac{BD}{DO}=\frac{2}{1}\times\frac{CE}{EB}\times\frac{2}{1}=1 $$
よって\(CE:EB=1:4\)(\(E\)は線分\(CB\)を\(1:4\)に内分する点)

以上より
$$ \overrightarrow{OE}=\frac{4}{5}\overrightarrow{OC}+\frac{1}{5}\overrightarrow{OB} $$

∴\(\overrightarrow{OE}=\frac{2}{5}\vec{a}+\frac{1}{5}\vec{b}\)

メネラウスの定理を使うと圧倒的に短く済みますよね?使う場面は限られるかもしれませんが、うまくはまれば強力な定理なので、しっかり覚えてください!