【3分で分かる！】正弦定理の公式と使い方のコツをわかりやすく（証明付き）

問題1

△ABCにおいて、∠B=30°、∠C=105°、b=5のとき、aの長さと外接円の半径Rの長さを答えなさい。

問題1の解答・解説

まずは図を書いてみましょう。
図を書いて、問題文で示されている値を書き込むと以下のようになります。

図を書くと、どの角やどの辺の長さを求めるべきなのかがはっきりと分かるようになります！

図を見て、まず気づくのがB・Cの大きさが分かっているので、Aの大きさがわかりますね。
三角形の内角の和が180°であることから、Aの大きさは以下で求められます。
$$A=180°-(B+C)\\
=180°-(30°+105°)=45°$$

正弦定理の公式より、
$$\frac{ a }{ \sin A } = \frac{ b }{ \sin B } = 2R$$
$$\frac{ a }{ \sin 45° } = \frac{ 5 }{ \sin 30° } = 2R$$
となります。

$$\sin 30°=\frac{ 1 }{ 2 }$$
$$\sin 45°=\frac{ 1 }{ \sqrt{2} }$$
より、

$$\frac{ a }{ \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } } = \frac{ 5 }{ \frac{ 1 }{ 2 } } = 2R$$
$$\sqrt{2}a = 10 = 2R$$
$$a = \frac{ 10 }{ \sqrt{2} } = \frac{ 5 \times \sqrt{2} \times \sqrt{2}}{ \sqrt{2} } = 5\sqrt{2}$$
$$R = 5$$
となります。

問題2

△ABCにおいて、∠A=60°、a=3√2、b=2√3、のとき、∠B・∠Cそれぞれの大きさを答えなさい。

問題2の解答・解説

問題1と同様、まずは図を書いてみましょう。
図を書いて、問題文で示されている値を書き込むと以下のようになります。

図を書けば、どの角とどの辺で正弦定理の公式を使えば良いのかが、一目瞭然ですね！

まず∠Aと∠Bとその対角の辺の長さで、正弦定理の公式が使うと∠Bの大きさが求められます。

∠Bの大きさが分かれば、三角形の内角の和が180°であることから、∠Cの大きさは以下で求められます。
$$C=180°-(A+B)$$

では実際に解いていきます。

正弦定理の公式より、
$$\frac{ a }{ \sin A } = \frac{ b }{ \sin B }$$
$$\frac{ 3 \sqrt{2} }{ \sin 60° } = \frac{ 2 \sqrt{3} }{ \sin B }$$
となります。

$$\sin 60°=\frac{ \sqrt{3} }{ 2 }$$
より、

$$\frac{ 3 \sqrt{2} }{ \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } = \frac{ 2 \sqrt{3} }{ \sin B }$$
少しわかりづらい式になってしまいましたね。
そこで、逆数を取ると（左辺・右辺の分母・分子をひっくりかえすと）

$$\frac{ \sin B }{ 2 \sqrt{3} } = \frac{ \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } }{ 3 \sqrt{2} }$$
かなり式が見やすくなりました！

2√3を右辺に移動して計算すると

$$\sin B = \frac{ \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } \times 2 \sqrt{3}}{ 3 \sqrt{2} } = \frac{ 3}{ 3 \sqrt{2} } = \frac{ 1}{\sqrt{2} }$$

よって、
$$\sin B = \frac{ 1}{\sqrt{2} } = \sin 45°$$
$$B = 45°$$
$$C=180°-(A+B)\\
=180°-(60°+45°)=75°$$
となります。