【3分で分かる!】順列と組み合わせの違いと公式(練習問題つき)

確率は入試でも頻出の重要な分野。その中でも「順列と組み合わせ」はその中心になる内容です。

そこで今回は順列・組み合わせの基本的な考え方や計算方法を紹介します。

最後には順列と組み合わせの計算を身につけるための練習問題も用意しました。ぜひ最後まで読んで順列・組み合わせをマスターしてください!

順列と組み合わせの概要・違い

順列と組み合わせの計算方法は記事の後半に回して、まずは順列と組み合わせとは何なのか、その2つの違いも含めて紹介します。

順列とは、いくつかのものを序をつけてに並べる並べ方の総数。

組み合わせとは、いくつかの要素の集まりからいくつかの要素を選び出すときの、組み合わせの種類の総数。

「順列」も「組み合わせ」もいくつかのものの中からいくつか選ぶというのは共通しています。しかし、組み合わせは選んで終わりなのに対し、順列は選んだあとの「順番」も決める必要があります。

たとえば、の3つのボールから2つ選ぶ選び方は組み合わせです。この場合、「」「」「」の3通りだけです。

一方、の3つのボールから2つ選んで並べる並べ方は順列です。この場合、「」と「」は別のものとしてカウントしなければいけません。「」「」「」「」「」「」の6通りあります。

一般的には、組み合わせよりも順列の方が多くなります。

順列と組み合わせの計算方法

順列・組み合わせのそれぞれの計算方法をみてみましょう。
黒板

たとえば、3個の玉から2個選んで並べる並べ方(順列)は、\(3×2=6\)(通り)です。

3個の玉から2個選ぶ選び方(組み合わせ)は、\(\frac{3×2}{2×1}=3\)(通り)になります。

なぜこの計算方法なのか?

まず、順列の例として3つの玉から2つ選んで並べる場合を考えます。
順列このようになるからです。

また、これを樹形図にするとこうなります。
樹形図

次に、3つの玉から2つ選ぶ組み合わせの場合。

上で示したように、2つ選んで並べると6通りです。2つのものを並べる並べ方は\({}_2 \mathrm{ P }_2=2×1=2\)(通り)あります。

つまり、順列の6通りは、それぞれの2つの玉の組に対し、2回ずつ重複して数えてしまっていることになります。よって\(6÷2=3\)(通り)となるのです。

練習問題

それでは順列と組み合わせの問題を解いて練習しましょう!

問題1

5人の生徒を1列に並べる並べ方は何通りあるか?

問題1の解答・解説

言い換えると「5人から5人選んで並べる並べ方」なので、順列の公式を使って、
\({}_5 \mathrm{ P }_5\)
\(=5!\)
\(=5×4×3×2×1\)
\(=120\)

答えは120通りです。

問題2

30人のクラスから代表を2人決めるときのパターンの総数はいくつ?

問題2の解答・解説

「30人から2人選ぶ選び方」なので、組み合わせの公式を使って、
\({}_{30} \mathrm{ C }_2\)
\(=\frac{30×29}{2×1}\)
\(=15×29\)
\(=435\)

答えは435通りです。

順列・組み合わせをマスターすることが確率マスターへの近道

いかがでしたか?

センター試験でも二次試験でも頻出の確率。この確率をマスターするためには順列・組み合わせをマスターすることが必須です。繰り返し練習して身につけましょう!