【3分でわかる!】微分公式まとめ 練習問題付き

この記事では、よく使う微分の公式をまとめました!

微分の問題は、「定義通り微分せよ」という指示がない限り丸暗記で対応できます。
つまり覚えたもの勝ちなのです。

今回は文理共通の数Ⅱの微分から、数Ⅲの微分まで紹介します。
すべて覚えてしまって、問題を解くスピードをアップしましょう!

定義通りの微分が知りたい方は以下の記事を参考にしてください。

【3分で分かる!】微分の仕方・導関数の意味と求め方

2017.05.27

数Ⅱの微分

数Ⅱでは、整式の微分を扱います。

定数の微分

定数の微分は、いつでも\(0\)です。

\[(a)’=0\]

\(x^n\)の微分

数Ⅱまでの範囲では、\(n\)は\(0\)以上の整数しか出てきません。

\(n=0\)、つまり定数関数の場合だけ特別で、いつでも\(0\)になります。

\(n\)が自然数のときは

\[(x^n)’=nx^{n-1}\]

となります。頻出なので、絶対に覚えましょう。

\(f(x)+g(x)\)の微分

関数の和はそれぞれで微分してそのまま足すだけです。

\[(f(x)+g(x))’=f'(x)+g'(x)\]

\(af(x)\)の微分

定数\(a\)と関数\(f(x)\)の積の微分は、関数部分だけ微分して、

\[(af(x))’=af'(x)\]

となります。

練習問題

それでは練習問題を解いて理解を深めましょう!

問題1

\[f(x)=x^5\]を微分しなさい。

解答

\[f'(x)=\displaystyle (x^5)’=5x^4\]

問題2

\[f(x)=x^3+4x+1\]を微分しなさい。

解答・解説

和の微分はそれぞれで微分して足し合わせるのでしたね。

\[f'(x)=\displaystyle (x^3)’=3x^2\] \[f'(x)=\displaystyle (4x)’=4\] \[f'(x)=\displaystyle (1)’=0\] であるから、

\[f'(x)=\displaystyle f'(x)=3x^2+4\]

数Ⅲの微分

数Ⅲでは、いろいろな関数の微分を扱います。
初めはややこしく感じるかもしれませんが、繰り返し練習して、少しずつ覚えていきましょう。

\(log_{e}x\)の微分

\[\displaystyle (log_{e}x)’=\frac{1}{x}\]

\(log_{a}x\)のように、底がeでない場合は底の変換をしてから微分するといいでしょう。

\[\displaystyle (log_{a}x)’\] \[=\displaystyle (\frac{log_{e}x}{log_{e}a})’\] \[=\displaystyle \frac{1}{xlog_{e}a}\]

\(e^x\)の微分

\(e^x\)は微分しても変わりません。覚えやすいですね。

\[\displaystyle (e^x)’=e^x\]

\(a^x\)の微分

\(a^x\)の微分には、ちょっと変わったおまけがついてきます。

\[\displaystyle (a^x)’=a^xlog_{e}a\]

\(sin x\)の微分

\(sin x\)を微分すると、\(cos x\)になります。

\[\displaystyle (sin x)’=cos x\]

\(cos x\)の微分

\(cos x\)を微分すると、\(sin x\)におまけがついてきます。

\[\displaystyle (cos x)’=-sin x\]

\(tan x\)の微分

\(tan x\)の微分はちょこっと複雑です。

\[\displaystyle (tan x)’=\frac{1}{cos^2 x}\]

積の微分

関数の積を微分するときは、片方ずつ微分したものを足します。

\[\displaystyle (f(x)g(x))’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\]

商の微分

商の微分はちょっと複雑です。分子の順番に注意して、確実に覚えましょう。

\[\displaystyle (\frac{f(x)}{g(x)})’={\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}}\]

合成関数の微分

合成関数の微分は、ややこしく見えるかもしれません。
しかしよく見ると、
「外の関数を(中の関数は気にせずに)微分」
→「中の関数を微分」
というマトリョーシカのような構造になっていることが分かります。

\(y=f(u)\)
\(u=g(x)\)
のとき

\[\displaystyle \frac{dy}{dx}={\frac{df}{du}}{\frac{du}{dx}}\]

逆関数の微分

\(y=f(x)\)
\(x=g(x)\)

とするとき

\[\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{{\frac{dx}{dy}}}\]

練習問題

それでは練習問題を解いて理解を深めましょう!

問題1

\(f(x)=12e^x\)を微分しなさい。

解答・解説

\(e^x\)は微分しても変わりませんでしたね。

\[f'(x)=\displaystyle 12(e^x)’=12e^x\]

問題2

\(f(x)=sin 3x+2cos x\)を微分しなさい。

解答・解説

\(sin 3x\)の微分は、合成関数の微分の簡単なパターンです。
\[\displaystyle (sin 3x)’=3cos 3x\] \[\displaystyle (2cos x)’=-2sin x\] なので、

\[f'(x)=\displaystyle 3cos 3x-2sin x\]

問題3

\(f(x)=e^x{log_{e}x}\)を微分しなさい。

解答・解説

積の微分は片方ずつ微分して足すのでしたね。

\[f'(x)=\displaystyle e^x{log_{e}x}+e^x{\frac{1}{x}}\]

問題4

\(f(x)=\frac{x+2}{x^2+2}\)を微分しなさい。

解答・解説

商の微分は少々複雑。分子は順番を間違えないように。

\[f'(x)=\displaystyle \frac{1(x^2+2)-(x+2)2x}{(x^2+2)^2}\] \[=\displaystyle \frac{-x^2-4x+2}{(x^2+2)^2}\]

問題5

\(f(x)=\frac{tan x}{x}\)を微分しなさい。

解答・解説

\(tan x\)の微分は難しそうに見えますが、使いこなせるようになっておきましょう。

\[f'(x)=\displaystyle \frac{\frac{1}{cos^2 x}x-{tan x}・1}{x^2}\] \[=\displaystyle \frac{x-{sin x}{cos x}}{x^2cos^2 x}\]

問題6

\(f(x)=log_{e}{(e^x+x^2+2)}\)を微分しなさい。

解答・解説

合成関数の微分の問題です。マトリョーシカを思い出しましょう。

\[f'(x)=\displaystyle \frac{1}{e^x+x^2+2}・(e^x+2x)\]

あとは訓練あるのみ!

いかがでしたか?

微分は繰り返し問題を解くうちにだんだん覚え、スピードアップできます。
ぜひ何度も練習してマスターしてくださいね。




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