【3分で分かる!】微分の仕方・導関数の意味と求め方

微分と積分は高校数学の中で最も苦手とする人が多い分野です。さらに入試でもセンター・筆記ともに毎年出題されています。

その基礎となる微分の導関数についてはしっかり理解しておかないと、今後の学習も身につきません。

そこで今回は微分の導関数の求め方について解説します!

最後には理解を深めるための練習問題も用意しました。

ぜひ最後まで読んで微分の導関数についてマスターしてください!

導関数とその意味

まずは微分の定義から、導関数とは何なのか、説明していきます。導関数の意味そのものが入試で問われることはありませんが、これを知っていれば今後の微分の学習をする上で理解が深まるはずです。

微分とは、変数の微小な変化に対応する、関数の変化量を求めること。

言葉だけだと難しいので分かりやすく以下の図で解説します。

関数\(f(x)\)の\(x=a\)の点と\(x=a+h\)の点を結ぶ直線を考えます。

導関数

この直線の傾きは、\[平均変化率=\frac{yの増加量}{xの増加量}\]\[=\frac{f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}\]\[=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\]となります。

この\(a+h\)を\(a\)に近づける、つまり\(h\)を\(0\)に近づけていきます。

導関数

するとこの直線は、\(f(x)\)の\(x=a\)における接線になります。

そしてこの直線の傾きは「極限」を用いて\[\displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\]と書けます。

この\(x=a\)での\(f(x)\)の接線の傾きが\(f'(a)\)なのです。\[f'(a)=\displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\]

でも、それぞれの点ごとに\(f'(a)\)を求めるのは面倒ですよね。そこで、どんな\(a\)でも\(x\)に代入するだけで\(f'(a)\)が求まってしまう魔法の式を考えたもの、それが導関数です。

導関数は普通\(f'(x)\)と表し、さきほどの\(f'(a)\)の式の\(a\)を\(x\)に変えたもの、つまり\[f'(x)=\displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]で求めることができます。

このように導関数を求めることを「微分」といいます。

導関数の求め方

上で述べたように、\[f'(x)=\displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]を使えば導関数は求められますが、高校で学習する関数はもっと簡単に導関数を求めることができます。

いくつかパターンに分けて解説します。

\(x^n\)の微分

一番重要です。\[(x^n)’=nx^{n-1}\]これは絶対に覚えてください。

これは分数のときも同じで、たとえば、\[\left(\frac{1}{x^2}\right)’=(x^{-2})’=-2x^{-3}=- \frac{2}{x^3}\]と微分ができます。

また、定数、たとえば\(3\)なども、\(x^0=1\)を使って、\[(3)’=(3x^0)’=0×3x^{-1}=0\]と微分できます。定数は微分すると必ず\(0\)になります

\(af(x)\)の微分

定数\(a\)と関数\(f(x)\)の積の微分は、\[(af(x))’=af'(x)\]となります。

\(f(x)+g(x)\)の微分

足し算はそのまま足すだけ。\[(f(x)+g(x))’=f'(x)+g'(x)\]

覚えておくと便利な微分(数Ⅲの範囲)

\[(f(x)g(x))’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\] \[\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)’=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}\] \[\{(ax+b)^n\}’=n(ax+b)^{n-1}\]

練習問題

それでは練習問題を解いて理解を深めましょう!

問題1

\[f(x)=x^2\]を定義に従って微分しなさい。

問題1の解答・解説

この「定義に従って」と言われた場合は、\[f'(x)=\displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]を使って導関数を求めなければいけません。

\[f'(x)=\displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]\[=\displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{(x+h)^2-x^2}{h}\]\[=\displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}\]\[=\displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{2xh+h^2}{h}\]\[=\displaystyle \lim_{ h \to 0 } 2x+h\]\[=2x\]

この定義に従って微分する問題は入試で出題されることは少ないですが、定期試験では問われることがあります。定義もきちんと覚えておきましょう。

問題2

\(f(x)=x^5+3x^2+3\)を微分しなさい。

問題2の解答・解説

上で紹介した方法を使えば、\[(x^5)’=5x^4\]\[(x^2)’=2x\]\[(3)’=0\]なので、\[f'(x)=5x^4+3×2x+0=5x^4+6x\]です。

微分は繰り返してスピードアップ

いかがでしたか?

導関数の計算は、やればやるほどスピードアップできます。ぜひ何度も練習してマスターしてくださいね。