【3分で分かる!】素因数分解のやり方と解き方のコツ

【3分で分かる!】素因数分解のやり方と解き方のコツ
素因数分解は数ⅠAの範囲でとても重要な分野です。

今回は東京工業大学に通う筆者が、これから素因数分解の勉強を始める人にはもちろん、理解が曖昧で復習したい人にも分かりやすく素因数分解とは何か、また、そのやり方とコツを解説します!

最後には素因数分解を身につけるための練習問題も用意しました。

ぜひ最後まで読んで、素因数分解を完璧にマスターしましょう!

※「因数分解」のやり方については、次の記事をご覧ください。

【3分で分かる!】因数分解の公式と解き方のコツ・練習問題と解説まとめ

2017.02.27

素因数分解とは

素因数分解とは、正の整数を素数の積で表すことです。

正の整数は1や2や100などのことで、自然数ともいいます。0は自然数とは言わないので注意しましょう。

素数とは、約数が1と「その数自身」の2つだけである自然数のこと。2や3や13などです。1は約数が1だけなので素数ではありません。

素因数分解の例をあげると、
12=2×2×3
です。

つまり、12を素因数分解すると2・2・3になります。

ここで、
12=3×4
という書き方もできますね。しかし、これは素因数分解ではありません。4は素数ではないからです。(4は1、2、4という3つの約数をもちます)

一方、
12=2×3×2
とも表せます。かけ算は順番を入れ替えることができるので、これは素因数分解となります。しかし、一般的には素因数分解は小さい素数から順番に、
12=2×2×3
のように書くことになっています。

以上が素因数分解の説明です。理解できましたか?

なぜ1は素数ではないの?

一言でいうと「素因数分解は1通りにしかできない」というルールがあるからです。

たとえば12を例に考えると、
12=2×2×3
ですが、1も素数ならば
12=1×2×2×3
12=1×1×2×2×3
という表し方もできます。つまり、素因数分解が何通りにもできてしまうのです。これはルールに反しますよね。なので1は素数に含めないのです。

素因数分解のやり方

12の素因数分解を例に、やり方を説明します。紙とペンを用意してください。

①素因数分解したい12を書き、割り算の筆算の上下逆のような線を引きます。
12-1

②左側に、12を割り切る素数を1つ書きます。(今回は2を選びましたが、他の素数でも大丈夫です)
12-2

③12を②の素数で割った数を下に書きます。
12-3

④③で出てきた数が素数であるか確認します。素数ならば⑤へ、素数でなければ①〜④を繰り返します。今回の6は素数ではないので、①〜④の12を6にかえて同じことをします。
12-4

⑤④で出てきた3が素数なのでここで終わりです。このとき、筆算の左と一番下に出てきた数字(図の赤丸で囲んだ数字)を「×」でつなげば素因数分解のできあがりです。
12-5

12=2×2×3
となります。

この12に対して、その約数である素数2、3を素因数といいます。

素因数分解のコツ

方法の②で、その数を割り切る素数の見つけ方のコツを紹介します。

コツ(1)120以下の自然数

120以下の自然数で素数でないものは、必ず2、3、5、7のどれかが約数になります。

コツ(2)2で割り切れる数の見分け方

24や78のように、一の位が0、2、4、6、8の自然数は、2で割れます。

コツ(3)3で割り切れる数の見分け方

すべての位の数を足して3で割れれば、その自然数も3で割れます。

例:123456の場合、1+2+3+4+5+6=21であり、21は3で割れるので、123456も3で割れます。

コツ(4)5で割り切れる数の見分け方

10や255のように、一の位が0か5の自然数は5で割れます。

コツ(5)素因数分解の順番

素因数分解するとき、確認する順番は
①その数が2で割れるかどうか
②その数が5で割れるかどうか
③その数が3で割れるかどうか
です。

①まず一の位が偶数かどうか確認しましょう。偶数ならコツ(2)から2で割れるので、2で割ります。割ったあとの数がまた2で割れるなら2で割り、さらにその数が2で割れるなら2で割って、を繰り返します。

②一の位が5の場合、コツ(4)から5で割れるので、5で割ります。①と同様に5で割れる限り割り続けます。

③コツ(2)を使って3で割れる限り割り続けましょう。

④これでもまだ素因数分解が終わらない場合は、7、11、13、・・・というように小さい素数から割っていきます。

この手順で素因数分解していくのが一番効率が良いです。

素因数分解の問題と解説

では実際に問題を解いて練習しましょう。

問題①

75を素因数分解してください。

解説①

75は一の位が5なので上のコツ(2)から、2では割れません。しかしコツ(4)から5で割れます。75を5で割って15です。

かけ算九九から15=3×5が思い浮かべば終わりです。

思い浮かばなくても、25は一の位が5なのでコツ(4)から5で割れます。15を5で割ると3になります。これで素因数分解完了です。

筆算は以下のようになります。
75

75=3×5×5
となります。

問題②

840を素因数分解してください。

解説②

今回は数字が大きいですが、やり方は同じです。

まず、一の位が0なのでコツ(1)から2で割れます。840を2で割ると420です。

同様に420も2で割れます。420÷2=210です。さらに210も2で割れて、210÷2=105となります。

105は一の位が5なのでコツ(4)から5で割れて、105÷5=21です。

かけ算九九を思い出せれば
21=3×7
で素因数分解完了。

九九が出てこなかった場合は、2+1=3は3で割れるので21は3で割り切れ、21=3×7です。7は素数なのでこれで終わりです。

↓筆算で書くとこうなります。
840
840=2×2×2×3×5×7
です。

最後に

いかがでしたか?

素因数分解は数学の基本です。繰り返し練習してマスターしましょう!




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