【3分でわかる!】指数法則の公式、使い方のコツ

指数法則は高校数学で何らかの計算をする上で知らないわけにはいかない分野です。

特に意識することもなく使いこなせるようになるために、公式を理解した後に何度も使う練習をする必要があります。

逆にとくに難しい概念が含まれているわけではないので、指数法則でつまづくことはないので安心してください。

今回は指数法則の公式を紹介して、何問か練習問題を解説するので参考にしてください。

指数法則の公式

指数法則の公式は以下の5つになります。

スライド2

この中で①’、③’に関しては数2・Bの指数の拡張の範囲に含まれるので1・Aを学習する際は覚える必要はありません。

指数法則の用語

まずは用語から確認しておきましょう。

aの「n乗」とはaをn回かけ合わせたものなります。
\(a^n=a×a×・・・×a\)

このとき「n」を指数と呼びます。
また、\(a^1,a^2,a^3\)などをaの累乗と呼びます。

① \(a^m×a^n=a^{m+n}\)

それでは順番に公式を確認していきましょう。

これは「aのm乗」×「aのn乗」は「aのm+n乗」になるという公式です。

「aをm回掛けたもの」と「n回掛けたもの」を掛けたのですから、合計のm+n乗になるのは簡単にわかりますね。

具体的には以下のようになりたちます。

\(a^3×a^5=a^8\)

② \((a^m)^n=a^{mn}\)

これは「aのm乗」をn乗すると「aのmn乗」になるという式です。

先程の式との違いを意識しましょう。なぜこうなるのかを簡単に説明します。

\((a^m)^n\)、という式を少し展開してみます。

\((a^m)^n=a^m×a^m×・・・×a^m\)

となることがわかりますね。ここで、①の公式を利用すると

\(a^m×a^m×・・・×a^m=a^{m+m+・・・+m}\)

となることがわかります。これを計算すると

\(a^{m+m+・・・+m} =a^{mn}\)

となりますね。具体的な例では以下のようになります。

\((2^3)^4=2^{3×4}=2^{12}\)

③ \((ab)^n=a^nb^n\)

こちらは「abのn乗」は「aのn乗」×「bのn乗」になるという公式です。

この式も展開すれば、この形になることがわかります。

指数の拡張

以上の公式は数1・Aで学習するもので「m,nが正の整数のとき」について成り立つものとされました。

数2・Bでは指数の定義を拡大して、「m,nが整数のとき」についても成り立つようにします。

そこで\(a^0,a^{-n}\)について次のように定義します。

指数法則_最新

このように定めることにより、「m,nが整数のとき」についても指数法則を成り立たせることができるようになります。

①’ \(a^m÷a^n=\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)

こちらは累乗の割り算に関する公式です。

\(a^n\)で割るというのは、\(\frac{1}{a^n}\)を掛けるということなので、\(a^{-n}\)となります。

具体的には以下のようになります。

\(a^4÷a^2=a^2\)

③’ \((\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}\)

こちらも展開して今までの公式を利用することで導くことができます。

\((\frac{a}{b})^n=(a・b^{-1})^n\)

このように分数は-1の累乗とすることでなくすことができ、

\((a・b^{-1})^n=a^n・b^{-n}=\frac{a^n}{b^n}\)

n乗して再び元の形に戻すことができましたね。

指数法則の練習問題

最後に練習問題を解いて指数法則を身に着けましょう。

問題1

\(a^{-2}×a^{^3}\)を計算せよ

問題1の解答・解説

そのまま指数法則を適用しましょう。

\(a^{-2}×a^{^3}=a^{-2+3}=a\)

問題2

\((a^{-3})^{^-2}\)を計算せよ

問題2の解答・解説

一見複雑ですが、こちらも指数法則を素直に適応することで求めることができます。

\((a^{-3})^{^-2}=a^{(-3)・(-2)}=a^6\)

問題3

\(a^2÷a^{-3}×a^{4}\)を計算せよ

問題3の解答・解説

こちらも複雑なように見えますが、公式①’を利用すれば簡単に計算することができます。

\(a^2÷a^{-3}×a^{4}=a^{2-(-3)+4}=a^9\)

指数法則はスラスラと思い出せるようにする

指数法則はこの先の計算で何度も使います。基本的な公式ですが、その分重要度は高いです。

簡単な計算問題を何度も解くことで、普通の四則演算のように指数法則を使いこなせるようになることが大事です。

感覚的に解けるようになるまで何度も練習しましょう。




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