【3分で分かる!】これで完璧!対数の問題パターン大全

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※はじめに
この記事は対数の練習問題をあげています。
もし、対数を基礎から学びたい場合はこちらの記事を参照の上、こちらの記事をご覧ください。

【3分で分かる!】対数とは?その意味や指数との違いも解説!

2017.11.24

上の記事でも書きましたが、対数は問題出題のパターンがあります。
それらを完璧にできれば、対数をマスターしたと言っても過言ではありません。

この記事では、そんな対数の代表的な出題パターン別に解説している記事です。

ぜひ最後まで読んで、対数マスターになりましょう!

パターン別!対数の問題演習

底の異なる対数の計算

問題

次の式を簡単にせよ。

\(\log_{ 3 } 4×\log_{ 4 } 9\)

問題の解答・解説

底が同じであれば、簡単なのですが、多くの問題では底をバラバラにして出してきます。
底をどのように決めるかで、迷ってしまう人も多いのではないでしょうか?

まずは、この説明からしておくと、
底は1以外であれば、どのような数で合わせるかは自由です。

しかし、かといって底を\(100\)などで統一しても大変なだけですね。
底を決めるのには2つコツがあります。

それは、まず問題で出てきた底を使うこと。
こうすることで、どちらか一方だけの底を合わせるだけで済むので計算が楽になります。

次に、なるべく小さな数を底にとることです。
このようにすることで、計算の煩雑さが減ります。

今回の問題では、底は\(3\)に統一するのが良さそうです。

対数の公式より、
\(\log_{ 4 } 9=\displaystyle \frac{ \log_{ 3 } 9 }{ \log_{ 3 } 4 }\)

よって、

\(\log_{ 3 } 4×\log_{ 4 } 9=\log_{ 3 } 4×\displaystyle \frac{ \log_{ 3 } 9 }{ \log_{ 3 } 4 }\)

約分をして、

\(\log_{ 3 } 9=\log_{ 3 } 3^2=\style{ color:red; }{ 2 }\)

対数の大きさの比較

問題

次の3つの数の大小を比較せよ。

\(\log_{ 9 } 49\)、\(2\)、\(3\log_{ 3 } 2\)

問題の解答・解説

この問題も、まずは底を統一するところがスタートです。
今回は\(3\)で統一すれば、良さそうです。

底を\(3\)で統一すると、
\(\log_{ 9 } 49=\displaystyle \frac{ \log_{ 3 } 49 }{ \log_{ 3 } 9 }\)

\(\displaystyle \frac{ \log_{ 3 } 49 }{ \log_{ 3 } 9 }=\displaystyle \frac{ 2\log_{ 3 } 7 }{ 2 }=\log_{ 3 } 7\)

また、\(2=\log_{ 3 } 9\)

これで底の統一はできました。
次にすることは、真数を比較することです。

これを行うために、\(log\)の外に出ている数を内に入れてあげる必要があります。
したがって、\(3\log_{ 3 } 2\)は書き換えの必要がありそうです。

\(3\log_{ 3 } 2=\log_{ 3 } 2^3=\log_{ 3 } 8\)
と書き換えることができました。

よって、\(\log_{ 9 } 49\)、\(2\)、\(3\log_{ 3 } 2\)の大小を比較する問題が、

\(\log_{ 3 } 7\)、\(\log_{ 3 } 9\)、\(\log_{ 3 } 8\)の大小を比較する問題になりました。
ここまでくれば、真数を比較できます。

底が統一できていないなどの、何らか不十分なところが残ったまま、真数だけを比較するとミスしてしまうので、注意です。

当然のことながら、
\(\log_{ 3 } 7<\log_{ 3 } 8<\log_{ 3 } 9\)
なので、最終的な答えは、
\(\style{ color:red; }{ \log_{ 9 } 49<2<3\log_{ 3 } 2 }\)
となります。

常用対数を使う問題

問題

\(\log_{ 10 } 2=0.3010\)、\(\log_{ 10 } 3=0.4771\)とする。

\(12^{50}\)は何桁の整数か。

問題の解答・解説

お分かりの通り、常用対数を使う問題です。
常用対数は、電卓でも計算が大変な巨大な数を扱うときに重宝します。

この手の問題は、解答の書き始めは必ず「常用対数をとって…」から始めます。

常用対数をとって、\[\log_{ 10 } 12^{50}=50\log_{ 10 } 12\]

\(\log_{ 10 } 2=0.3010\)、\(\log_{ 10 } 3=0.4771\)より、

\(\log_{ 10 } 12\)
\(=\log_{ 10 } 2^2+\log_{ 10 } 3\)
\(=0.6020+0.4771\)
\(=1.0791\)

よって、\(\log_{ 10 } 12^{50}=50×1.0791=54.855\)

\(54<\log_{ 10 } 12^{50}<55\)

\(10^{54}<12^{50}<10^{55}\)

ゆえに、\(\style{ color:red; }{ 55 }\)が答えになります。

グラフを使う対数の問題

問題

次の◇と☆を埋めよ。

\(y=-\log_{ \frac{ 1 }{ 2 } } 4(x+1)\)は、\(y=\log_{ 2 } x\)を\(x\)軸方向に◇、\(y\)軸方向に☆だけ平行移動したものである。

問題の解答・解説

とてつもなく複雑ですが、やることは変わりません。

まずは底を\(2\)にそろえます。

\(-\log_{ \frac{ 1 }{ 2 } } 4(x+1)\)

\(=-\displaystyle \frac{ \log_{ 2 } 4(x+1) }{ \log_{ 2 } \displaystyle \frac{ 1 }{ 2 } }\)

\(=-\displaystyle \frac{ \log_{ 2 } 4(x+1) }{ -1 }\)

\(=\log_{ 2 } 4(x+1) \)

\(=\log_{ 2 } 4+\log_{ 2 } (x+1) \)

\(=\log_{ 2 } (x+1)+2\)

\(y=\log_{ 2 } (x+1)+2\)と\(y=\log_{ 2 } x\)のグラフを書くと下のようになります。

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わかりづらいとは思いますが、\(y=\log_{ 2 } (x+1)+2\)は\(y=\log_{ 2 } x\)よりも\(x\)軸方向に\(-1\)、\(y\)軸方向に\(2\)平行移動しています。

よって答えは、
\(y=-\log_{ \frac{ 1 }{ 2 } } 4(x+1)\)は、\(y=\log_{ 2 } x\)を\(x\)軸方向に\(\style{ color:red; }{ -1 }\)、\(y\)軸方向に\(\style{ color:red; }{ 2 }\)だけ平行移動したものである。

対数方程式

問題

次の方程式を解け。

\(\log_{ 5 } (x+1)=2\)

問題の解答・解説

いよいよ最後の問題です。
この対数方程式や対数不等式では、まず一番最初にやることが変わってきます。

まず一番初めにすることは、真数条件を確認することです。
真数は正でしたね。それをまず、確認するのです。

真数は正なので、\(x+1>0\)
よって、\(x>-1\)・・・①

次に、いつものように底を統一します。
今回は\(5\)で底をそろえます。

すると、\(2=\log_{ 5 } 25\)ですね。
\(\log_{ 5 } (x+1)=\log_{ 5 } 25\)

底をそろえたら、あとは真数だけを取り出して、方程式を解きます。

\(x+1=25\)
よって、\(x=24\)

これは①を満たすので、\(\style{ color:red; }{ x=24 }\)

対数の演習まとめ

いかがでしたか?

どの問題にも共通するのは、底を統一すること。
これをきちんとできれば、基本的に問題は解けます。

ここに書いたパターンで大体の対数の問題は解けるようになります。
あとは、きちんと問題演習を重ねて習得してください!