剰余の定理とその証明・練習問題
剰余の定理を使うと、多項式を一次式で割った余りを一瞬で求めることができます。
入試でも使うことがありますが、問題文で「剰余の定理を使え」とは指定されないため、自分でスラスラ使いこなせるようにしないといけません。
そこで今回は剰余の定理とその証明の解説をします。
最後には理解を深めるための練習問題を、基本から応用まで3問用意しました。
ぜひ最後まで読んで剰余の定理をマスターしてください！
目次
剰余の定理とは
剰余の定理とは、
「多項式\(P(x)\)を\((x-a)\)で割った余りは\(x\)に\(a\)を代入した\(P(a)\)になる」
ということです。
ちなみに多項式\(P(x)\)を\((ax-b)\)、つまり\(a×(x-\frac{b}{a})\)で割った余りは\((x-\frac{b}{a})\)で割った余りと等しく、\(P(\frac{b}{a})\)になります。
そして\(P(a)=0\)のパターンが因数定理です。
因数定理とは、
「多項式\(P(x)\)が\((x-a)\)で割り切れる⇔\(P(a)=0\)」
ということです。
因数定理について詳しくはこちらをご覧ください。
剰余の定理の証明
それでは剰余の定理の証明をします。証明自体を覚える必要はありませんが、とても簡単なのでぜひ一度は確認してください。
多項式\(P(x)\)を\((x-a)\)で割った商を\(Q(x)\)、余りを\(R\)とします。
商が\(Q\)となっていると、このあと\(x\)に\(1\)を代入する、などの操作をする際に分かりづらいのです。
多項式\(P(x)\)が二次以上の式だった場合、それを一次式で割った商\(Q(x)\)は\(x\)の入った一次以上の式です。たとえば\((x-1)(x+1)\)を\((x+1)\)で割った商は
\(Q(x)=x-1\)となります。
\(Q(x)=x-1\)の場合、\(x\)に\(1\)を代入すると
\(Q(1)=1-1=0\)
ですから、\(Q(x) \neq Q(1)\)であることが分かります。
しかし、商が\(Q\)だけだと\(Q(x)\)のことか\(Q(1)\)のことか分かりません。数学は、等しくないものを同じ記号で表すことを嫌います。
だから\(Q(x)\)と\(Q(1)\)のように書き分けているのです。
ちなみに、一次式で割っているので、余り\(R\)は一次よりも次数が小さい式、つまり\(x\)の入らない定数になります。
これを式で表すと、
\(P(x)=(x-a)Q(x)+R\)
ここに\(x=a\)を代入すると、
\(P(a)=(a-a)Q(a)+R=R\)
となります。
よって、多項式\(P(x)\)を\(x-a\)で割った余り\(R\)は\(P(a)\)に等しいことが分かりました。
剰余の定理を用いる練習問題
それでは剰余の定理を使って練習問題を解いてみましょう！
全部で3問あります。
剰余の定理を用いる練習問題1
多項式\(x^2+2x+3\)を\((x-2)\)で割った余りを求めよ。
問題1の解答・解説
剰余の定理を適用するだけです。
\((x-2)\)で割った余りを求めたいので、\(P(x)=x^2+2x+3\)に\(x=2\)を代入します。
\(P(2)=2^2+2×2+3=4+4+3=11\)
よって答えは\(\style{ color:red; }{ 11 }\)です。
実際、
\(x^2+2x+3=(x-2)(x+4)+11\)
となります。
次から応用問題になります。
剰余の定理を用いる練習問題2
多項式\(P(x)=x^3+2x^2+x\)を\(x^2+2x-3\)で割った余りを求めよ。
問題2の解答・解説
二次式での割り算の余りにも、剰余の定理が使えます（同様の方法で三次以上の式で割った場合でもできます）。
二次式で割った余りは一次式または定数、つまり\(ax+b\)の形になります。
この割り算の商を\(Q(x)\)とすると、
\(P(x)=(x^2+2x-3)Q(x)+ax+b\)
\(x^2+2x-3=(x+3)(x-1)\)
と因数分解できるので、
\(P(x)=(x+3)(x-1)Q(x)+ax+b\)
次に\((x+3)\)、\((x-1)\)それぞれで割った余りを求めます。
①\((x+3)\)で割った余りは\(P(x)=x^3+2x^2+x\)に\(x=-3\)を代入したものなので、
\(P(-3)\)
\(=(-3)^3+2(-3)^2+(-3)\)
\(=-27+18-3\)
\(=-12\)
また、\((x+3)\)で割った余りは\(P(x)=(x+3)(x-1)Q(x)+ax+b\)に\(x=-3\)を代入したものでもあるので、
\(P(-3)\)
\(=(-3+3)(-3-1)Q(-3)+(-3)a+b\)
\(=-3a+b\)
よって
\(-3a+b=-12\)
②\((x-1)\)で割った余りは\(P(x)\)に\(x=1\)を代入したものなので、
\(P(1)\)
\(=1^3+2×1^2+1\)
\(=1+2+1\)
\(=4\)
また、\((x-1)\)で割った余りは\(P(x)=(x+3)(x-1)Q(x)+ax+b\)に\(x=1\)を代入したものでもあるので、
\(P(1)\)
\(=(1+3)(1-1)Q(1)+1×a+b\)
\(=a+b\)
よって\(a+b=4\)
①と②からできた連立方程式
\(\left\{
\begin{array}{l}
-3a + b = -12 \\
a+b= 4
\end{array}
\right.\)
を解くと、\(a=4,b=0\)となります。
よって多項式\(P(x)=x^3+2x^2+x\)を\(x^2+2x-3\)で割った余りは
\(ax+b=\style{ color:red; }{ 4x }\)
です。
実際、
\(x^3+2x^2+x=x(x^2+2x-3)+4x\)
となります。
剰余の定理を用いる練習問題3
多項式\(P(x)=x^3+x^2+ax+b\)を\((x-1)\)で割った余りが\(3\)、\((x+1)\)で割った余りも\(3\)のとき、\(a,b\)の値を求めよ。
問題3の解答・解説
①\(P(x)\)を\((x-1)\)で割った余りは\(P(1)\)なので、
\(P(1)\)
\(=1^3+1^2+a+b\)
\(=2+a+b\)
よって、
\(2+a+b=3\)
整理すると
\(a+b=1\)
②\(P(x)\)を\((x+1)\)で割った余りは\(P(-1)\)なので、
\(P(-1)\)
\(=(-1)^3+(-1)^2-a+b\)
\(=-a+b\)
よって、\(-a+b=3\)
①と②からできた連立方程式
\(\left\{
\begin{array}{l}
a + b = 1 \\
-a+b= 3
\end{array}
\right.\)
を解いて、\(\style{ color:red; }{ a=-1,b=2}\)です。
剰余の定理は因数定理と合わせて覚える
いかがでしたか？
剰余の定理はとても便利な定理です。因数定理もかなり重要なのでぜひ合わせて覚えてください！
