【3分で分かる!】チェバの定理とは?定理の証明を徹底解説!

メネラウスの定理などと一緒にでてくるチェバの定理。

高校受験での重要公式や大学入試センターの必修としておなじみですよね?

でも意外と影が薄く、他の定理とごちゃごちゃになって定理をうっかり忘れてしまいがちなものです。

そこで今回はチェバの定理のわかりやすい覚え方、証明を紹介したいと思います。

これをマスターして、定理を適切に運用できるようになりましょう!

チェバの公式って?

ではまず定理の紹介です。

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上の図のように\(\triangle ABC\)の頂点\(A\)、\(B\)、\(C\)と、三角形の内部の点\(O\)を結ぶ直線\(AO\)、\(BO\)、\(CO\)が、辺\(BC\)、\(CA\)、\(AB\)とそれぞれ点\(P\)、\(Q\)、\(R\)で交わるとき\[\style{ color:red; }{ \displaystyle \frac{ BP }{ PC }×\displaystyle \frac{ CQ }{ QA }×\displaystyle \frac{ AR }{ RB }=1 }\]となります。

覚え方なのですが、次の図をみてください。

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1つ目の特徴として、順番に点々をたどっていくような構成になっているということです。

よって、チェバの定理を覚えるときは\(\displaystyle \frac{ BP }{ PC }×\displaystyle \frac{ CQ }{ QA }×\displaystyle \frac{ AR }{ RB }=1\)という式ばかりに注目するのではなく、図形も確認しながらだと覚えやすいです。

2つ目の特徴です(少し1つ目の特徴と被っているかもしれません)。

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図のように\(BP→PC→CQ→QA→AR→RB…\)といった「しりとり」のような構造をしています。

確認しておきますが、このように循環する構造をしていれば始点がどこであってもかまいません

したがって、公式通りに覚えるというかは「チェバの定理はしりとりだ!」と覚えた方がよく覚えられるかもしれませんね笑

参考

チェバの定理は逆も成り立つことが知られています。色々な証明問題の道具として重宝しますので、是非覚えておきましょう!

チェバの定理の逆

\(\triangle ABC\)の辺\(BC\)、\(CA\)、\(AB\)上に、それぞれ点\(P\)、\(Q\)、\(R\)があり、\(\displaystyle \frac{ BP }{ PC }×\displaystyle \frac{ CQ }{ QA }×\displaystyle \frac{ AR }{ RB }=1\)が成り立てば、\(3\)直線\(AP\)、\(BQ\)、\(CR\)は\(1\)点で交わる。

チェバの定理の証明

では、定理がわかったところで証明に入りましょう。今回は証明を3種類用意しました!

面積を使った証明

この証明は中学生でも、高校生でも理解しやすいと思います。

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上の図のように、辺\(OA\)を共有する\(\triangle OAB\)、\(\triangle OCA\)がある。

直線\(AO\)と線分\(BC\)の交点を\(P\)とし、\(2\)点\(B\)、\(C\)から直線\(AO\)に下ろした垂線を、それぞれ\(BH\)、\(CK\)とすると、\[\displaystyle \frac{ \triangle OAB }{ \triangle OCA }=\displaystyle \frac{ BH }{ CK }\]

\(\triangle BPH ∽ (相似) \triangle CPK\)より、\(\displaystyle \frac{ BH }{ CK }=\displaystyle \frac{ BP }{ PC }\)だから、\[\displaystyle \frac{ \triangle OAB }{ \triangle OCA }=\displaystyle \frac{ BP }{ PC }\]

同様に\(\triangle OAB\)と\(\triangle OBC\)、\(\triangle OBC\)と\(\triangle OCA\)についても考えると、\[\displaystyle \frac{ \triangle OBC }{ \triangle OAB }=\displaystyle \frac{ CQ }{ QA },\displaystyle \frac{ \triangle OCA }{ \triangle OBC }=\displaystyle \frac{ AR }{ RB }\]

よって、\[\displaystyle \frac{ BP }{ PC }=\displaystyle \frac{ \triangle OAB }{ \triangle OCA },\displaystyle \frac{ CQ }{ QA }=\displaystyle \frac{ \triangle OBC }{ \triangle OAB }\]\[\displaystyle \frac{ AR }{ RB }=\displaystyle \frac{ \triangle OCA }{ \triangle OBC }\]

ゆえに \[\displaystyle \frac{ BP }{ PC }×\displaystyle \frac{ CQ }{ QA }×\displaystyle \frac{ AR }{ RB }\]\[=\displaystyle \frac{ \triangle OAB }{ \triangle OCA }×\displaystyle \frac{ \triangle OBC }{ \triangle OAB }×\displaystyle \frac{ \triangle OCA }{ \triangle OBC }=1\]

メネラウスの定理を使った証明

これについてはまずメネラウスの定理を知っておかねばなりません。

なので、知らないよという人は読み飛ばしてもかまいません。

しかし、メネラウスの定理を知っている人は、チェバの定理を一発で証明できます。

注意

実際の問題で証明にメネラウスの定理を使って証明をして良いかといわれれば、あまりオススメできません。

なぜならば、メネラウスの定理自体の証明も必要だからです。

このような定理は計算や図形の問題を解く手段として使っても良いですが、証明問題に使うのは控えましょう。

よって、メネラウスを使った証明は参考程度にみておくのがベストだと思います。

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上の図でメネラウスの定理を使って、\[\displaystyle \frac{ AR }{ RB }×\displaystyle \frac{ BC }{ CP }×\displaystyle \frac{ PO }{ OA }=1・・・①\] \[\displaystyle \frac{ AQ }{ QC }×\displaystyle \frac{ CB }{ BP }×\displaystyle \frac{ PO }{ OA }=1・・・②\]

①を②で割ることにより\[\displaystyle \frac{ AR }{ RB }×\displaystyle \frac{ BP }{ PC }×\displaystyle \frac{ CQ }{ QA }=1\]となり、チェバの定理となっている。

ベクトルを使った証明

今度の証明は、高校生から理解できる証明方法ですが、やや複雑です。

やり方としては、直線 \(BQ\) と \(CR\) の交点を \(O\) とおき,\(AO\) と \(BC\) の交点 \(P\) がチェバの定理に合うような形の比に辺\(BC\)を分割しているかということを証明します。

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\(\overrightarrow{ AR }=t\overrightarrow{ AB },\overrightarrow{ AQ }=s\overrightarrow{ AC }\) とおく。

また、\(QO:BO=u:(1-u),RO:CO=v:(1-v)\)とおく。

今からすることは\(\displaystyle \frac{ BP }{ PC }=\displaystyle \frac{ s(1−t) }{ t(1−s) }\)となることを示すこと。

なのでまずは \(BQ\) と \(CR\) の交点\(O\) のベクトルを求める。

\(BQ\) のベクトル方程式は、

\(\overrightarrow{ AO }=u\overrightarrow{ AB }+(1−u)s\overrightarrow{ AC }\)

\(CR\)のベクトル方程式は、

\(\overrightarrow{ AO }=v\overrightarrow{ AC }+(1−v)t\overrightarrow{ AB }\)

よって、

\(\overrightarrow{ AB }\)、\(\overrightarrow{ AC }\) の係数を連立させて \(u\) について解くと、

\(u=\displaystyle \frac{ t−st }{ 1−st } \)となるので、

\(\overrightarrow{ AP }=\displaystyle \frac{ t−st }{ 1−st }\displaystyle\overrightarrow{ AB } +\displaystyle \frac{ s−st }{ 1−st }\overrightarrow{ AC }\)

よって、係数の比が \(t−st:s−st=t(1−s):s(1−t)\)となるので題意は示された。

やはり少しむずかしめですね。ベクトルが好きな人は覚えてみても良いかもしれません。

チェバの定理を使う練習問題

最後に練習問題に取り組んでみましょう。チェバの定理の確認問題です。

問題

\(\triangle ABC\)において、点\(P\)、\(Q\)が辺\(BC\)、\(CA\)を図のような比に内分するとき図中の点\(R\)に対して、\(AR:RB\)を求めよ。

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問題の解答・解説

チェバの定理を使う問題です。

チェバの定理より\[\displaystyle \frac{ AR }{ RB }×\displaystyle \frac{ BP }{ PC }×\displaystyle \frac{ CQ }{ QA }=1\]

辺の比を代入して\[\displaystyle \frac{ AR }{ RB }×\displaystyle \frac{ 1 }{ 1 }×\displaystyle \frac{ 4 }{ 7 }=1\]

よって、\(\displaystyle \frac{ AR }{ RB }=\displaystyle \frac{ 7 }{ 4 }\)

ゆえに、求める辺の比は\(\style{ color:red; }{ AR:RB=7:4 }\)

まとめ:センター頻出!

いかがでしたか?

チェバの定理はセンター試験で必ずといっていいほどよく出題される定理です。

しかし、センター試験は先ほどの練習問題のようではなく、チェバの定理を使う問題だとは気づかせないような問題を出します。

チェバの定理がどのような定理なのかを今一度確認し、応用問題にも適応できるように力をつけていきましょう!




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