【3分でわかる!】三角形の相似の性質と条件、証明問題の解き方

三角形の相似

相似とは2つの図形の片方を縮小・拡大して、平行移動、回転移動、対称移動を行えばもう片方の図形と重なる関係のことを言います。

つまり、2つの図形の形が同じであれば相似であるといえます。大きさや、向き、鏡のように反転していても相似は成り立ちます。

三角形に限らず、四角形でも円でも相似は成り立ちますが、試験や入試で問われることが多いのは三角形の相似です。

三角形の相似は合同と並んで中学レベルの図形分野の中でも基本的な事項になります。

そこでこの記事では、相似な三角形の性質と、三角形の相似が成り立つ条件、それに相似を証明する問題について扱います。

この記事を読んで、相似についてサクッと理解しちゃいましょう!

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2017.08.21

相似な三角形がもつ性質

2つの三角形が相似であるとき、次の性質を持ちます。

  1. 対応する辺の長さの比は等しい
  2. 対応する角の大きさが等しい

例えば、△ABCと△DEFが相似であるとします。(△ABC∽△DEFと記号で表します。)

すると、以下が成り立ちます。

AB:BC:CA=DE:EF:FD
∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F

この対応する辺の比と角度が等しくなることが相似の性質なので覚えておきましょう。なお、辺の長さも同じ場合、合同となります。

三角形の相似が成り立つ3つの条件

相似であると、対応する辺の比がそれぞれ等しく、角が等しいことを説明しました。

しかし、2つの三角形が相似であると言うために全てを証明する理由はありません。

次に説明する2つの三角形が相似といえる3つの条件は非常に重要なものなので覚えておきましょう。

三角形の相似が成り立つ条件①:2組の角が等しい

スライド2

2つの三角形の2組の角が等しければ相似であるといえます。

三角形の内角の和は180°だと決まっているので、2つの角が決まれば残り1つの角も自動的に決まりますね。

三角形のそれぞれの角の大きさが決まれば辺の比も決まるので相似であるといえます。

三角形の相似が成り立つ条件②:3辺の比が互いに等しい

スライド3

3組の辺の比が互いに等しいときも相似が成り立ちます。

△ABCと△A’B’C’が相似であるといえるためには、
a:a’=b:b’=c:c’を示せれば良いということです。

(a,b,cは∠A,B,Cの対辺)

三角形の相似が成り立つ条件③:2組の辺の比と間の角が等しい

スライド4

2組の辺の比が等しく、その間の角が等しいときも相似が成り立ちます。

まとめると以下の3つが三角形の相似条件です。

  1. 2組の角が等しい
  2. 3辺の比が互いに等しい
  3. 2組の辺の比とその間の角が等しい

この中のどれかを証明することができれば相似であるといえます。

証明問題や選択問題において、相似条件を知らなければ問題を解くことができないので、覚えていない場合はすぐに3つとも覚えましょう。

3つもあって覚えにくいかもしれませんが、まずはそれぞれの条件をイメージしてみて、条件を満たせば三角形の形が定まることを実感しましょう。

そして条件の言い回しを覚えるようにすると、すぐに覚えられますよ。

直角三角形の相似が成り立つ2つの条件

直角三角形の相似が問題になることがありますが、基本的に新しく覚えることはないので安心してください。

直角三角形の相似条件は2つありますが、基本的に三角形の相似条件を応用したものなので肩の力を抜いて理解しましょう。

ここから紹介する条件は2つの三角形が直角三角形であることを前提とします。

直角三角形の相似が成り立つ条件①:直角以外の角度が等しい

直角三角形の場合、直角以外の角度が等しければ相似となります。

ここで、先程紹介した2つの角が等しければ相似であるという条件を思い出してください。

この場合も、直角ともう1つの角度という2つの角度が等しい場合であると理解できますね。

直角三角形の相似が成り立つ条件②:対応する2辺の比が等しい

直角三角形の場合、対応する2辺の比が等しければ相似であるといえます。

普通の三角形の場合は3辺の比が等しいときでしたね。

普通の三角形と違って直角三角形の場合は、2辺の比がわかれば三平方の定理を利用して残りの辺の比を求めることができるからです。

しかし、この条件は使う機会が少ないんで確認だけしておけば大丈夫です。

三角形の相似を証明する問題

問題1

スライド6

△ABD∽△CADを証明せよ。

問題1の解答・解説

相似の証明問題です。辺の比は問題文の設定から読み取れないので、2組の角が等しいことを示せば良さそうですね。

∠ADB=∠CDA=90°より、1つの角は証明することが出来るので、あと1つの角が等しいと言えれば良いです。

ここで、△ABDに注目すると、∠BAD=180°-∠ADB-∠ABD=90°-∠ABDが成り立つ。

また、∠BAD=∠BAC-∠CAD=90°-∠CADが成り立つ。

よって、∠ABD=∠CADである。

以上より、 ∠ADB=∠CDA、∠ABD=∠CADと2組の角が等しいことが言えたので、

△ABD∽△CADが証明できた。

問題2

スライド7

△ABC∽△EDCを証明せよ。

問題2の解答・解説

少し変わった形をしていますが、よくみる三角形の相似の問題です。

この問題で重要なポイントは、ABとDEが平行であることです。

このことにより、平行線の錯角が等しいことから

∠CAB=∠CED
∠ABC=∠EDC

を導くことができるのです。

また、対頂角が等しいので、∠ACB=∠ECDも導くことができます。

対応する角、2組が等しければ相似が成立するので、△ABC∽△EDCが証明できました。

三角形の相似の成立条件をおさえることの重要性

三角形の相似で覚えることは、相似の成立条件3つのみです。

直角三角形の成立条件は基本的に基本の三角形の応用にすぎないので、特に難しく考える必要はありません。

相似の成立条件3つを覚えたら、演習問題を解くことを通して、実際の図形から成立条件を見つけるコツを掴みましょう。

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