【3分で分かる!】三角形の合同条件とその使い方!

三角形の合同条件は高校入試で必ずといってもよいほど重要なテーマです。

合同条件は覚えるのがメインではありますが、使い方まで知らなければ、あまり意味がありません。

そこで、今回は三角形の(直角三角形も)合同条件を総ざらいしようと思います。

練習問題もつけましたので、合同条件をどのように使うのかもわかります。

ぜひ、合同条件をマスターしてくださいね!

合同とは?(合同な図形の性質など)

まずは、合同とは何かについて押さえておきましょう。

合同な図形とは、「一方をずらしたり、裏返したりすることによって、他方に重ね合わせることができるような2つの図形のこと」をいいます。

また、合同な図形は大きさも等しくなります。

つまりは、全く同じ図形が合同な図形であるということでもあります。

では次に、2つの三角形が合同だとわかったら、一体何に使うのかということについて考えましょう。

先ほどもいったように、合同な図形とは全く同じ図形なのですから、辺の長さや角の大きさも全て等しくなります。

よって、2つの三角形の辺の長さや角の大きさが等しいことを証明するために、合同が使われるのです。

2つの三角形があって、ある辺と辺が等しいことを証明する問題などは、三角形の合同を証明するんだなと思っていて良いです。

あとの練習問題で確認してみてください。

合同の表し方

合同条件に入る前にまだ確認しておきたいことがあります。

それは、「合同であることをどのように表すか」についてです。

これは、\(\style{ color:red; }{ ≡ }\)という記号を使います。

\(=\)(イコール)と似ていますが、三本線なので間違えないようにしましょう。

例えば、下の図のように\(\triangle ABC\)と\(\triangle DEF\)があり、2つの三角形が合同だったとします。

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このとき、\(\triangle ABC\)と\(\triangle DEF\)の間に\(≡\)のマークを書くだけなのですが、注意点があります。

それは、「対応する頂点を同じ順に並べて書く」ということです。

上の図の場合でしたら、\(\triangle ABC≡\triangle DEF\)で良いのですが、次の場合は少し変わってきます。

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上の図のような場合、さっきの規則に従うならば、\(\triangle ABC≡\triangle DEF\)ではなく\[\triangle ABC≡\triangle EFD\]と書かなければなりません。

合同の問題では、常に対応する頂点同士を並べて書くことを意識しましょう!

三角形の合同条件(3つ)

お待たせしました。いよいよ合同条件の紹介です。

ここでは合同条件の紹介だけに留めて、合同条件自体の証明はしません。

なぜなら、中学生で証明を知る必要があまりありませんし、合同条件を覚えることに集中した方が良いからです。

証明をどうしても知りたい人はネットで検索してみると良いでしょう。

では紹介に入ります。

3辺がそれぞれ等しい

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2辺とその間の角がそれぞれ等しい

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1辺とその両端の角がそれぞれ等しい

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以上が三角形の合同条件です。

まとめておきます。

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全てとても重要ですので、必ず覚えるようにしましょう!

具体的な使い方については、練習問題をみてくださいね。

直角三角形の合同条件(2つ)

三角形の中には特殊なものとして、直角三角形というものがあります。

直角三角形の合同の証明には、上に挙げた3つの合同条件とは別の合同条件を使わねばなりません

それらをここでは紹介していきます。

どれも重要ですのでしっかりと覚えてください。

2つの直角三角形は、次の2つの合同条件のうちどちらかが成り立てば、合同です。

斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい

斜辺とは、文字通り直角三角形における斜めの辺のことです。

もっと正確に言えば、「直角三角形の\(90°\)である角(直角)の対辺」のことです。

また、鋭角とは「\(90°\)未満の角」のことをいいます。

「鋭」という字からも、とがっている角であることがわかると思います。

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今回の場合鋭角は2つありますので、●でも、×でもどちらか一方が等しければOKです。

斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい

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これも斜辺の他に辺は2つありますから、どちらか1方が等しければOKです。

直角三角形の合同条件もきちんと覚えましょう!

こちらもまとめておきます。

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特に「斜辺」、「鋭角」のような特殊な言い回しは要注意ですよ。

合同の証明問題

それでは、三角形の合同条件を使う練習問題を解いてみましょう。

問題1

\(\triangle ABC\)と\(\triangle DEF\)があり、\(BC=EF\)、\(AC=DF\)、\(\angle B=\angle E\)である。

このとき、\(\triangle ABC\)と\(\triangle DEF\)は合同であるといえるか。

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問題1の解答・解説

この問題は、合同であると「いえる」か「いえない」かで答えます。

いずれにせよ解答には根拠を探さなければなりません。

そこで考えるべきは、三角形の合同条件です。

3つの合同条件のうち1つでも当てはまっていれば、\(\triangle ABC\)と\(\triangle DEF\)は合同だといえます。

問題文をみると、今回は3つの合同条件のうち「2辺とその間の角がそれぞれ等しい」が使えるかもと判断できますね。

しかし、よくみてください。合同条件では「間の角」となっていますね。

問題で与えられている\(\angle B=\angle E\)は、\(BC=EF\)と\(AC=DF\)の間の角ではありません。

間の角は\(\angle C=\angle F\)ですね。

よって、合同条件に当てはまらず、\(\triangle ABC\)と\(\triangle DEF\)は合同であるといえません。

答えは単純にいえないだけで良いですが、解答に至るまでには色々考えるべきことがあります。

決して、2分の1だからといって勘で選ばないようにしましょう笑

問題2

下の図で、線分\(AD\)と線分\(BC\)の交点を\(E\)とする。

\(\angle ABE=\angle CDE\)、\(BE=DE\)であるとき、\(\triangle ABE≡\triangle CDE\)であることを証明せよ。

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問題2の解答・解説

ここで、証明の進め方について解説しておこうと思います。

証明の進め方

仮定から出発し、すでに正しいとわかっている事がらを根拠として、結論を導く。

仮定とは、問題文中にある証明のための前提条件のようなものです。

結論は、その逆でこれから証明したいことをさします。

この問題でいえば、仮定は\(\angle ABE=\angle CDE\)、\(BE=DE\)で、結論が\(\triangle ABE≡\triangle CDE\)となります。

三角形の合同の証明については以下の4つのステップにしたがって証明を進めるようにしましょう。

三角形の合同の証明

①問題文に沿って、図を書き、記号をつける。
(問題の中に図があるときは省略しても良いですが、極力書くようにしましょう。)

②問題の条件を、その記号を使って表す。

③問題の条件や図形の性質から、どの合同条件が成り立つかを考える。

④論理に抜けがないか、ミスがないかを確認して証明を書く。

高校受験における合同の証明は書き方が決まっていたりもするので、そのときはそれに従うようにしてください。

ここでの証明の仕方は、一般的なものを挙げています。

それでは問題の証明に入ります。

(証明)

\(\triangle ABE\)と\(\triangle CDE\)において、仮定より

\[\angle ABE=\angle CDE・・・①\]\[BE=DE・・・②\]

また対頂角は等しいので、\[\angle AEB=\angle CED・・・③\]

①、②、③より、

1辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、\[\style{ color:red; }{ \triangle ABE≡\triangle CDE }\](証明終了)

証明問題は、順序よく簡潔に書くようにしましょう。

問題3

下図のように、\(AD /\!/ BC\)の台形\(ABCD\)の辺\(DC\)の中点を\(M\)とする。

また、\(AM\)の延長と\(BC\)の延長との交点を\(E\)とする。

このとき、\(AD=EC\)であることを証明せよ。

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問題3の解答・解説

この問題は結論が\(AD=EC\)ですが、証明の大部分は\(\triangle ADM≡\triangle ECM\)を示すことです。

なぜなら、\(\triangle ADM≡\triangle ECM\)であれば、合同な図形の性質である「対応する線分の長さは等しい」を使って、\(AD=EC\)がいえるからです。

(証明)

\(\triangle ADM\)と\(\triangle ECM\)において、

仮定より、\(M\)は辺\(DC\)の中点より\[DM=CM・・・①\]

また\(AD /\!/ BC\)より\(AD /\!/ BE\)であり、平行線の錯覚は等しいので\[\angle ADM=\angle ECM・・・②\]

さらに、対頂角は等しいので\[\angle AMD=\angle EMC・・・③\]

①、②、③より、

1辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、\[\triangle ADM≡\triangle ECM \]

合同な図形の対応する線分の長さは等しいので、\[\style{ color:red; }{ AD=EC }\](証明終了)

まとめ

いかがでしたか?

中2で習う単元とはいえ、中学生にとっては証明を初めてやるという人も多く、難しいと思います。

しかし、多くのものは暗記さえすればなんとかなるようになっています。

まずは、合同条件をきちんと覚え、証明の問題をたくさん解いてやり方を覚えるようにしてくださいね!




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