定積分の公式・性質・使い方
定積分は積分の中でも重要な概念で、面積を求める際には定積分を利用します。
図形の面積を求める問題はセンター試験で必ずといっていいほど出題されるので定積分は決して避けられない分野です。
今回は定積分の公式・性質やその使い方について解説するので、初めて習う人や復習する人は参考にしてくださいね。
目次
定積分とは
不定積分に加えて定積分というものを習います。
基本的に積分に関わる問題が出題されたら定積分を利用すると考えて間違いありません。
\(f(x)\)の不定積分の1つを\(F(x)\)とするとき
\(F(b)-F(a)\)
を\(f(x)\)のaからbまでの定積分といいます。
例えば、\(f(x)=3x^2\)のとき\(F(x)=x^3\)なので
\(f(x)\)の-2から4までの定積分は
\begin{align}
F(4)-F(-2)&=(4)^3-(-2)^3\\
&=64-(-8)\\
&=72
\end{align}
と特定の値が定まります。
このaを「下端」、bを「上端」と呼ぶので一応覚えておきましょう。
定積分の性質
定積分の性質その１：項ごとに計算ができる
定積分について以下の式が成り立ちます。
要するに定積分は項ごとに計算することができるということです。
例えば、\(f(x)=3x^2+2x\)を1から4まで積分してみます。
\begin{align}
\int^4_1(3x^2+2x)dx&=3\int^4_1(x^2)dx+2\int^4_1(x)dx\\
&=3\left[\frac{1}{3}x^3\right]^4_1+2\left[\frac{1}{2}x^2\right]^4_1\\
&=(4^3-1^3)+(4^2-1^2)\\
&=78
\end{align}
このように項ごとにバラバラにしてそれぞれを積分することで簡単に求めることができます。
最初は記号になれないと思うので何回か自分で解いてみることで積分の感覚を身につけましょう。
定積分の性質その2：積分区間の上端・下端の入れ替え、連結ができる
また定積分にはこのような性質もあります。
これらの性質より、積分区間を上端と下端で入れ替えることや、連結することができます。
簡単にこれらの性質を証明しておきましょう。
\(f(x)\)の不定積分を\(F(x)\)とすると
\(\int^a_af(x)dx=F(a)-F(a)=0\)
これより4の性質が成り立つのはいいですよね。
\(\int^b_af(x)dx=F(b)-F(a)\)
\(\int^a_bf(x)dx=F(a)-F(b)\)
これより\(\int^b_af(x)dx=-\int^a_bf(x)dx\)となりますね。
\(\int^b_af(x)dx=F(b)-F(a)=F(b)-F(c)+F(c)-F(a)\)
このように\(F(c)\)を挟むことで
\(F(b)-F(c)+F(c)-F(a)=\int^b_cf(x)dx+\int^c_af(x)dx\)
と積分区間を分けたり連結することができることが確認できましたね。
定積分の公式・性質の使い方
それでは実際に問題を解いて確認してみましょう。解説もあるので、最初は解けなくても大丈夫です。
問題1
次の定積分を求めよ。
\(\int^3_1(4x^3-6x^2+2)dx-\int^{-2}_1(4x^3-6x^2+2)dx\)
問題1の解答・解説
そのまま計算することもできますが、計算量が多くなってしまいます。
定積分される関数が同じことからこれまで習った性質が使えないか考えてみます。
2項目のマイナスを取り除きたいので、
\(\int^b_af(x)dx=-\int^a_bf(x)dx\)
を利用しましょう。
\(-\int^{-2}_1(4x^3-6x^2+2)dx=\int^1_{-2}(4x^3-6x^2+2)dx\)
このように変形できるので元の式は、
\(\int^3_1(4x^3-6x^2+2)dx+\int^1_{-2}(4x^3-6x^2+2)dx\)
となります。さらに積分区間の連結もできるので元の式は
\(\int^3_{-2}(4x^3-6x^2+2)dx\)
と変形できます。ここまでくればあとは地道に解いていきましょう。
\(\int^3_{-2}(4x^3-6x^2+2)dx=4\left[\frac{1}{4}x^4\right]^3_{-2}-6\left[\frac{1}{3}x^3\right]^3_{-2}+2\left[x\right]^3_{-2}\)
\(=\{3^4-(-2)^4\}-2\{3^3-(-2)^3\}+2\{3-(-2)\}\)
\(=5\)
このように最初に式を整理することで煩雑な計算をする回数を減らすことができましたね。
定積分は計算間違いが起こりやすいので注意
以上のように定積分と言っても不定積分の差を取るだけなので特別難しいことはありません。
記号の意味などをしっかり理解すれば大丈夫です。
しかし、定積分は非常に計算が多く複雑になってくるので計算間違いだけには注意しましょう。
途中式を省略しないことが計算ミスを防ぐためのコツです。
