はじめに
この記事では、1次不等式の性質や解き方のコツについて解説します。
不等式の計算も基本的には方程式と同じですが、いくつかの操作については異なるところもあるので注意が必要です。
この記事を読んで1次不等式をマスターしましょう！
目次
不等式の記号と意味
不等式では、＞、＜、≧、≦、といった記号を利用します。
順番に「だいなり」「しょうなり」「だいなりいこーる」「しょうなりいこーる」
と呼ぶので覚えておきましょう。
形の通り、開いている方が大きな数を表しており、
\(3>2,-4<0,4≦4\)
はいずれも正しい式です。
1<xとしたとき、xは1よりも大きな数を表しており数直線上に図示すると以下のようになります。
1次不等式の4つの性質
不等式について理解必須の性質が4つあります。
4つありますが、どれも覚えるものではなく自然と理解できるようになるものです。
【1次不等式の性質①】\(a<b,b<cであればa<c\)
\(a<b,b<cであればa<c\)
これは難しい言葉でいえば推移律というものですが、「aより大きいｂ」よりcが大きいのであれば、cがaより大きいのは当然ですね。
【1次不等式の性質②】\(a<bなら、a+c<b+c,a-c<b-c\)
\(a<bなら、a+c<b+c,a-c<b-c\)
これは両辺に同じ数を足したり引いたりしても不等式の関係が変わらないことを示しています。
例えば、A君が500円、B君が1000円持っているときに、二人共から200円取ろうと、二人共に300円あげようと、二人の所持金のA<Bという関係は変わりませんよね。
この性質より方程式と同じように移項することができるので、
\(x+70<100\)
という式は
\(x<30\)
と表すことができます。
【1次不等式の性質③】\(a<b,c>0のときac<bc,\frac{a}{c}<\frac{b}{c}\)
\(a<b,c>0のときac<bc,\frac{a}{c}<\frac{b}{c}\)
こちらはcが正のときに掛けたり、割ったりしても関係は変わらないことを示しています。
例えば、20<40に対して、両辺を5倍した100<200も、両辺を5で割った40という条件が追加されていることです。
cが0または負のときは上の関係は成り立たないので注意しましょう。
cが負のときが4つ目の性質です。
【1次不等式の性質④】\(a<b,c<0のときac>bc,\frac{a}{c}>\frac{b}{c}\)
\(a<b,c<0のときac>bc,\frac{a}{c}>\frac{b}{c}\)
元の不等式（a<b）の関係が逆転していることに注意しましょう。
実際にやってみます。
2<4に対して両辺を-5倍すると
-10>-20となります。
正負が逆転することで、不等号の向きも変わっています。
ここが方程式とは異なるポイントなので注意しておきましょう。
1次不等式の問題の解き方
1次不等式の計算問題の解き方
それでは実際に問題を解いて解き方をマスターしましょう。
問題1
\(4x+7>1\)を解け
問題1の解答・解説
まず不等式の性質より、両辺に同じ数を足すことができるので
\(4x+7-7>1-7\)
これを計算すると
\(4x>-6\)
次に、正の数を割っても不等号の向きはそのままなので、
\(x>-\frac{3}{2}\)
問題2
\(-5x<20\)を解け
問題2の解答・解説
xの係数-5を取り除きたいですが、負なので注意が必要です。
先程解説したように負の数を割るときは不等号の向きが逆転するので
\(x>\frac{20}{-5}\)
これを計算すると
\(x>-4\)
となります。
不等式が正しいかどうかを簡単に検算したいときは0や極端な数字を代入すると良いですよ。
1次不等式の文章題の解き方
文章題になると自分で立式することも求められます。実際にやってみましょう。
問題1
Aくんは5000円だけ持っています。1個300円のりんごをできるだけ買いたいのですが、帰りの電車代400円分は残しておかなければなりません。
このとき、Aくんは何個りんごを買うことができるでしょう。
問題1の解答・解説
まずは立式をしましょう。
りんごの数をx個とおけば良さそうですね。
りんごを買った後の所持金が400円以上であれば良いので不等式を立てると
\(5000-300x≧400\)
となります。これを解けばxを求めることができますね。
まずは移項して
\(-300x≧-4600\)
次に負の数で割って（不等号の向きが変わることに注意）
\(x≦\frac{4600}{300}\)
これを計算すると
\(x≦15.333..\)
となります。今回求めるxはりんごの個数であるため整数です。（15.333個のりんごは買えません。）
そのため\(x≦15.333..\)を満たすxの中で最大の整数である15が答えになります。
おわりに
不等式は基本的には方程式と同じということがわかったと思いますが、負の数の掛け算、割り算に関しては不等号が反対になることに注意しましょう。
それさえ理解することができれば後は計算問題を何問か解けば不等式の基本的なことでつまづくことはありません。
連立不等式の解き方についても一緒に学びましょう！
