二重根号の外し方について
二重根号を外す問題は頻繁に出題されるわけではないですが、解き方を覚えていないといざ出題されたときに焦ることになります。
形は複雑ですが、原理自体は難しいものではないので、解き方を覚えていないと他の受験生に差をつけられてしまいます。
ですので、今回の記事で二重根号の外し方を覚えてしまいましょう！
平方根に関連する「累乗根」のトピックについては、以下の記事で詳しく解説されているので、こちらも併せて見てくださいね。
目次
二重根号とは
二重根号とは、ルート（根号）の中にルートが入っている式のことを呼びます。
見てみるとわかるように、形が複雑でイメージしづらいですよね。
実は二重根号で表せる式の中には、二重根号を外した形で表せるものもあるのです。
二重根号の外し方
二重根号の外し方の式
それでは二重根号の外し方について解説します。
二重根号は以下の式を利用して外すことができます。
二重根号の外し方の式の証明
まず、なぜこの式が成り立つのかを証明します。
左辺は次のように変形することができますね。
\(\sqrt{a+b±2\sqrt{ab}}=\sqrt{(\sqrt{a})^2+(\sqrt{b})^2±2\sqrt{ab}}\)
このとき、\(a^2±2ab+b^2=(a±b)^2\)より
\(\sqrt{(\sqrt{a})^2+(\sqrt{b})^2±2\sqrt{ab}}=\sqrt{(\sqrt{a}±\sqrt{b})^2}\)
と変形することができます。
ここで、\(\sqrt{A^2}=|A|\) が成り立つので、
\(\sqrt{(\sqrt{a}±\sqrt{b})^2}=|\sqrt{a}±\sqrt{b}|\)
と変形することができます。プラスのときは正になるので、絶対値を外すことができますね。
以上で証明終了です。
二重根号の外し方の式の使い方
実際に、以下の手順で二重根号を外してみましょう。
- \(\sqrt{A±2\sqrt{B}}\)の形に変形する
- \(A=a+b,B=ab\)を満たす\(a,b\)を求める
- \(|\sqrt{a}±\sqrt{b}|\)の形で表す
たとえば、先程の例でやってみます。
\(\sqrt{8+2\sqrt{15}}\)
既に(1)の形になっているので良いですね。
a+b=8,ab=15より、a=3,b=5だとわかります（複雑なときは連立方程式を解きます）。
よって二重根号を外すと
\(\sqrt{3}+\sqrt{5}\)
と表せることがわかります。
二重根号を外すことで元の形と比べてかなりシンプルになりますね。
二重根号の外し方の式を使う練習問題
問題1
\(\sqrt{5-\sqrt{21}}\)の二重根号を外せ。
問題1の解答・解説
まずは、手順通り\(\sqrt{A-2\sqrt{B}}\)の形に変形しましょう。
\(2\sqrt{B}\)の形を表すために、ルートの中身に対して2を掛け、2で割ります。すると、
\(\sqrt{\frac{5×2-2\sqrt{21}}{2}}\)
となりますね（2を掛けて2で割っているので値は変わりません）。
これを整理すると次のようになります。
\(\frac{\sqrt{10-2\sqrt{21}}}{\sqrt{2}}\)
\(\sqrt{10-2\sqrt{21}}\)という形で表せたので次に、
\(a+b=10,ab=21\)を満たす\(a,b\)を求めます。
この式を解くと、\(a=3,b=7\)と求まりますね。
よって、この式の分子は
\(\sqrt{7}-\sqrt{3}\)と表せます。
よって、この式は
\(\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\)
と表すことができます。分母の有理化を行うと、答えは
\(\frac{\sqrt{14}-\sqrt{6}}{2}\)
です。このように変形して2を作り出すと二重根号を外すことができるので、覚えておきましょう。
問題2
\(\sqrt{18+3\sqrt{20}}\)の二重根号を外せ。
問題2の解答・解説
この問題も手順に従って解いていきます。
\(3\sqrt{20}\)ですが、3をルートの中に入れて、2をルートの中から取りだすことで、\(2\sqrt{B}\)の形が作れそうですね。
\(3\sqrt{20}=\sqrt{3^2×2^2×5}=2\sqrt{45}\)
よって元の式は
\(\sqrt{18+2\sqrt{45}}\)と表すことができます。
次に、a+b=18,ab=45を満たすa,bを求めます。
a=3,b=15のときにこの式を満たすので、
求める答えは
\(\sqrt{3}+\sqrt{15}\)です。
二重根号を外すときに一番問題となるのは、いかに\(2\sqrt{B}\)の形を作るかなので、様々な形に対応できるようにしておきましょう。
二重根号の外し方は、原理が分かれば簡単に解ける
最初は二重根号の形に戸惑うかもしれませんが、結局は中身を2乗の形に表しているだけだと理解することで、かなり解きやすくなります。
仕組みを理解していないと、どちらがa+bで、どちらがabを表すかなどを間違えてしまうので注意が必要です。
練習を積んで、いつでも二重根号を外せるようになりましょう！それでは！
