【誰でもきちんと理解!】累乗根って何?どこよりもわかりやすく解説!

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突然ですが皆さんは、3の2分の1乗がどんな値になるかわかりますか?
数字の右上についている数は、皆さんが見慣れているように必ずしも整数であるわけではありません。

今回は、このようなトピックを扱いたいと思います!
つまり「累乗根」です。

この累乗根が何かということや、公式、練習問題など盛りだくさんの内容になっています。

ぜひ、最後まで読んでいってくださいね!

累乗根とは?

ここでは、累乗根について説明していきます。

まず、累乗根は「るいじょうこん」と読みます。結構漢字が難しいですよね。

さて、累乗根とは何でしょうか?

まずは、Wikipediaの説明を紹介します。

累乗根とは、
「冪乗(累乗)に相対する概念で、冪乗すると与えられた数になるような新たな数のこと」
をいう、とのことだそうです。

うーむ…やっぱり難しい。
もっと簡単に説明できないでしょうか?

もっと簡単に説明すると、\(n\)乗して\(a\)になるような数を\(a\)の\(n\)乗根というと説明できます。
そして、この\(n\)乗根のことを全てまとめて累乗根といいます。

たとえば、\(2\)は\(3\)乗して\(8\)になりますよね。
この時、\(2\)を\(8\)の\(3\)乗根といいます。
(逆に、\(8\)は\(2\)の\(3\)乗になっていることに気づけるとOKです)

少し整理してみます。

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累乗根を考える上での注意

ただし、累乗根を考える際には注意点があります。

それは「\(n\)乗して\(a\)になるような数を\(a\)の\(n\)乗根」という定義において、

\(n\)が奇数の時には、\(a\)の正負に関係なく累乗根は1つだけ存在します。
しかし、\(n\)が偶数の時は少しやっかいなのです。

\(n\)が偶数の時は、\(a\)が正の時は累乗根は\(2\)つ、\(a\)が負の時は累乗根はありません。

試しに、\(y=x^2\)(\(n\)が偶数)と\(y=x^3\)(\(n\)が奇数)の関数で、累乗根がいくつ出てくるかを確認してみましょう。

まずは、\(y=x^2\)で適当に正の\(y\)座標を選んで、いくつ対応する\(x\)座標が出てくるかみてみます。

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先程確認した通り、2つ対応する\(x\)座標が出てきました。
もちろん適当に選んだ\(y\)座標が負であれば、対応する\(x\)座標はありません。

次に、\(y=x^3\)で適当に\(y\)座標を選んで、いくつ対応する\(x\)座標が出てくるかみてみます

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お分かりの通り、1つですね。
これは、\(y\)座標が正であろうと負であろうと変わりません。

これだけはしっかり注意しておきましょうね!

累乗根の表記方法

次に累乗根の表記方法について説明していきます。
これは、いたってシンプルです。

皆さんは、\(3\)の平方根と言われて何を思いつくでしょうか。
\(\sqrt{ 3 }\)と\(-\sqrt{ 3 }\)ですね。

今回は\(\sqrt{ 3 }\)に焦点を当てて説明します。
さて、この普段何気なく使っているこの\(\sqrt{ 3 }\)ですが、これは省略形であることを知っていますか?

実は、\(\sqrt{ 3 }\)は\(\sqrt[ 2 ]{ 3 }\)というものの省略形なのですね。
なぜ省略するのか、を説明すると少し難しいし、長くなってしまうので、こちらのリンクを参考にしてみてください。
累乗根2の説明はこちら

また、平方根と言われていますが、\(\sqrt{ 3 }\)は\(3\)の2乗根です。

つまり、\(a\)の\(n\)乗根は\(\sqrt[ n ]{ a }\)と表記されます。
読み方ですが、「\(n\)乗根\(a\)」と読むのが良いです。

2分の1乗を考える際のヒント:累乗根

では、ここで少し話を変えて、冒頭にも出てきた。
「\(3^\frac{ 1 }{ 2 }\)って何?」
ということについて考えていきましょう。

まず、\(\sqrt{ 3 }\)を\(2\)乗すると\(3\)になりますね。
これは大丈夫かと思います。

では、\(3^\frac{ 1 }{ 2 }\)を\(2\)乗すると

\((3^\frac{ 1 }{ 2 })^2=3^{\frac{ 1 }{ 2 }×2}=3\)

と\(\sqrt{ 3 }\)を\(2\)乗した場合と結果が同じになります。
つまり、\[\sqrt{ 3 }=3^\frac{ 1 }{ 2 }\]というわけです。

さらに、\(\sqrt{ 3 }\)は\(\sqrt[ 2 ]{ 3 }\)の省略形だったので\[\style{ color:red; }{ 3^\frac{ 1 }{ 2 }=\sqrt[ 2 ]{ 3 } }\]でもあります。

\(3\)の\(\frac{ 1 }{ 2 }\)乗が、\(3\)の2乗根(平方根)となり、\(\sqrt[ 2 ]{ 3 }\)になるということは、

\(3\)の\(\frac{ 1 }{ 3 }\)乗が、\(3\)の3乗根となり、\(\sqrt[ 3 ]{ 3 }\)
\(3\)の\(\frac{ 1 }{ 4 }\)乗が、\(3\)の4乗根となり、\(\sqrt[ 4 ]{ 3 }\)
\(3\)の\(\frac{ 1 }{ 5 }\)乗が、\(3\)の5乗根となり、\(\sqrt[ 5 ]{ 3 }\)

となっていきます。

まとめると、「正の整数\(n\)に対して\(a\)の\(\frac{ 1 }{ n }\)乗を\(a\)の正の\(n\)乗根、つまり\(\sqrt[ n ]{ a }\)と定義します。

よって、\(2\)分の\(1\)乗というのは、\(2\)乗根のことを指しています。
この言い換えができるようになると、分数の累乗もわかってくると思いますよ!

累乗根の公式

具体的な計算に取り組む前に、公式を確認しておきましょう。
累乗根の公式は、大きく5つあります。

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これから、1つずつ公式の証明をしていきます。
公式は、証明とセットで覚えることで忘れにくくなり、万が一忘れても自分で作り出すことができるので、しっかり押さえましょう!

全ての証明の前提条件は、
\(a>0,b>0\)、\(m,n,p\)は全て正の整数であるということです。
\(m\)と\(n\)が正の整数であることは定義されていますが、\(p\)が正の整数は便宜上です。

これらをしっかり押さえてから証明に入りましょう!

\(\sqrt[ n ]{ a }×\sqrt[ n ]{ b }=\sqrt[ n ]{ ab }\)

多くの累乗根の公式の証明には、指数法則を公式の証明に使います。
指数法則について、先に知りたい方はこちらを参照してください。

【3分でわかる!】指数法則の公式、使い方のコツ

2017.04.14

では、証明に入ります。

(証明)

\(\sqrt[ n ]{ a }×\sqrt[ n ]{ b }=x\)とおきます。
\(x\)は、\(x>0\)ですね。

まずは、累乗根が邪魔なので、累乗根を取り払うために両辺を\(n\)乗します。

すると、
\((\sqrt[ n ]{ a }×\sqrt[ n ]{ b })^n=x^n\)
になりますね。

ここで指数法則\((pq)^n=p^nq^n\)を使います。

よって、\((\sqrt[ n ]{ a }×\sqrt[ n ]{ b })^n\)は、\[(\sqrt[ n ]{ a })^n(\sqrt[ n ]{ b })^n=ab\]となるはずです。

これまで、複雑だった式が\[ab=x^n\]まで簡単にすることができました。

\(ab>0,x>0\)ですので、両辺を\(\displaystyle \frac{ 1 }{ n }\)乗しても問題ありませんね。
これは、先ほど確認した通りです。

よって、\[\sqrt[ n ]{ ab }=x\] \(x\)を元に戻して、\[\style{ color:red; }{ \sqrt[ n ]{ ab }=(\sqrt[ n ]{ a }×\sqrt[ n ]{ b }) }\]となり、公式の証明ができました。

(証明終了)

この調子でどんどんいきましょう!

\(\displaystyle \frac{ \sqrt[ n ]{ a } }{ \sqrt[ n ]{ b } }=\sqrt[ n ]{ \displaystyle \frac{ a }{ b } }\)

実は①の公式の証明が理解できた人は、もう②の公式の証明もできたも同然です。
②の公式の証明は、①の公式の証明で使ったやり方と全く同じです。

では、具体的にみていきましょう!

(証明)

まずは、\(\displaystyle \frac{ \sqrt[ n ]{ a } }{ \sqrt[ n ]{ b } }=x\)とおきます。
\(x\)はここでも、\(x>0\)です。

ここも累乗根が邪魔なので、累乗根を取り払うために両辺を\(n\)乗します。

\(\left(\displaystyle \frac{ \sqrt[ n ]{ a } }{ \sqrt[ n ]{ b } } \right )^n=x^n\)

今度は、指数法則\(\left(\displaystyle \frac{ p }{ q } \right )^n=\displaystyle \frac{ p^n }{ q^n }\)を使います。

よって、\(\left(\displaystyle \frac{ \sqrt[ n ]{ a } }{ \sqrt[ n ]{ b } } \right )^n\)は、\[\displaystyle \frac{ (\sqrt[ n ]{ a })^n }{ (\sqrt[ n ]{ b })^n }=\displaystyle \frac{ a }{ b }\]まで簡単にできます。

なので、\[\displaystyle \frac{ a }{ b }=x^n\]ですね。

\(\displaystyle \frac{ a }{ b }>0,x>0\)より、両辺を\(\displaystyle \frac{ 1 }{ n }\)乗します。

すると、\[\sqrt[ n ]{ \displaystyle \frac{ a }{ b } }=x\]となり、元に戻すと公式通りの\[\style{ color:red; }{ \sqrt[ n ]{ \displaystyle \frac{ a }{ b } }=\displaystyle \frac{ \sqrt[ n ]{ a } }{ \sqrt[ n ]{ b } } }\]になりました。

(証明終了)

左右の辺の値が公式とは逆になっていますが、同じことを指していますので気にしないでくださいね。

\((\sqrt[ n ]{ a })^m=\sqrt[ n ]{ a^m }\)

これも証明方法は①、②と全く同じです。
では、みていきましょう!

(証明)

\((\sqrt[ n ]{ a })^m=x\)とおきます。
ここでも、\(x>0\)です。

いつものように、両辺を\(n\)乗します。
\({(\sqrt[ n ]{ a })^m}^n=x^n\)

ここで使用する指数法則は\((p^m)^n=p^{mn}\)です。
これを使うと、\({(\sqrt[ n ]{ a })^m}^n\)は\[(\sqrt[ n ]{ a })^{mn}=a^m\]まで簡単にすることができます!

よって、\(a^m=x^n\)ですね。

\(a^m>0,x>0\)なので、いつものように両辺を\(\displaystyle \frac{ 1 }{ n }\)乗します。

すると、\[\sqrt[ n ]{ a^m }=x\]となりますね。

最後に、\(x\)をもとに戻して\[\style{ color:red; }{\sqrt[ n ]{ a^m }=(\sqrt[ n ]{ a })^m}\]となり証明ができました。

(証明終了)

\(\sqrt[ m ]{ \sqrt[ n ]{ a } }=\sqrt[ mn ]{ a }\)

残すところ、あと2つになりました。ついてこれていますか?
やることが基本的に同じなので、理解しづらいということはないと思います。

あと2つもサクサクこなしましょう!

(証明)

\(\sqrt[ m ]{ \sqrt[ n ]{ a } }=x\)とおきます。
\(x>0\)は変わりません。

基本的に累乗根が邪魔なので、外側から外していきます。
なので、両辺を\(m\)乗することになります。
すると、指数法則より\[\sqrt[ n ]{ a }=x^m\]ですね。

しかし、まだ累乗根が残っていますので、これも外してあげます。
したがって、両辺を\(n\)乗します。
すると、\[a=x^{mn}\]となってとても簡単になりました。

\(a>0,x>0\)なので、今回は思い切って両辺を\(\displaystyle \frac{ 1 }{ mn }\)乗します。
よって、\(a=x^{mn}\)は\[\sqrt[ mn ]{ a }=x\]になりました。

あとは、\(x\)を元に戻してあげて、証明すべき公式の形である、\[\style{ color:red; }{\sqrt[ mn ]{ a } }=\sqrt[ m ]{ \sqrt[ n ]{ a } }\]になり、証明は終わりになります。

(証明終了)

\(\sqrt[ np ]{ a^{mp} }=\sqrt[ n ]{ a^m }\)

いよいよ最後です。もうこの手の証明方法には慣れてしまったでしょうか?
最後についても、やることは全く変わりませんよ。

それではみていきましょう。

(証明)

\(\sqrt[ np ]{ a^{mp} }=x\)とおきます。\(x>0\)です。

累乗根を外したいので、両辺を\(np\)乗しましょう。
指数法則を使って、\(a^{mp}=x^{np}\)となりますね。

お気付きの方もいるかもしれませんが、\(p\)は消すことができますよ
すると、\[a^m=x^n\]とさらに簡単にできますね。

\(a^m>0,x>0\)なので、今回は右辺を\(x\)だけにしたいので両辺を\(\displaystyle \frac{ 1 }{ n }\)乗します。
\(a^m=x^n\)は\[\sqrt[ n ]{ a^m }=x\]になります。

最後はいつものように\(x\)を元に戻して、\[\style{ color:red; }{\sqrt[ n ]{ a^m }=\sqrt[ np ]{ a^{mp} }}\]を導くことができました。

(証明終了)

①〜③は特によく使うので、しっかりと覚えておきましょう!

累乗根の練習問題

それでは、最後に累乗根の練習問題をやって終わりにしましょう。
まずは、問題を解くうえでの注意点について説明しておきます。

累乗根の問題を解く際の注意点

上の説明で、\(n\)乗して\(a\)になるような数において、\(n\)が偶数の時は、\(a\)が正の時は累乗根は\(2\)つあると解説しました。
つまり\(4\)乗して\(16\)になる数が\(2\)と\(-2\)と2つあるといった具合です。

では、このような問題の場合、答えは2つあると言えるのでしょうか?

例題

次の数を簡単にせよ。

\(\sqrt[ 4 ]{ 16 }\)

例題の解答・解説

これまでの考え方のままだと、\(\sqrt[ 4 ]{ 16 }\)には\(2\)と\(-2\)という答えが想定されそうです。
しかし、これは間違っています。答えは\(\style{ color:red; }{ 2 }\)のみです。

このようなミスをしないためにまず押さえておかねばならないことは、
\(\sqrt[ n ]{ a }\)は、\(n\)と\(a\)が正の数である限りにおいて必ず正の数であるということです。

つまり、\(\sqrt[ 4 ]{ 16 }\)は\(2\)でしかありません。
また、\(-2\)は\(-\sqrt[ 4 ]{ 16 }\)と同値になります。

まとめると、

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このことに気をつけて、以下の問題に取り組んでみましょう!

問題

次の数を簡単にせよ。

(1)\(\sqrt[ 3 ]{ 125 }\)
(2)\(\sqrt[ 6 ]{ 64 }\)
(3)\(\sqrt[ 3 ]{ 0.001 }\)
(4)\((\sqrt[ 4 ]{ 9 })^2\)
(5)\(\sqrt[ 4 ]{ 3 }×\sqrt[ 4 ]{ 27 }\)

問題の解答・解説

この手の問題で着目するのは、√(ルート)の中身です。
必ずといっても良いほど、○の△乗の形になっているはずです。

順番にみていきます。

まずは(1)です。
√(ルート)の中身である\(125\)に着目です。

\(125\)を素因数分解していきます。
素因数分解についてはこちらの記事をみてください。

【3分で分かる!】素因数分解のやり方と解き方のコツ

2017.03.08

\(125\)を素因数分解すると\(5^3\)ですね。
よって、\(\sqrt[ 3 ]{ 125 }=\sqrt[ 3 ]{ 5^3 }\)となりました。

ここで、累乗根の公式③を使うと、\(\sqrt[ 3 ]{ 5^3 }\)

√(ルート)の外にある数\(n\)は、√(ルート)の中にある数の\(n\)分の\(1\)であることを表していました。

つまり、\(\sqrt[ 3 ]{ 5^3 }\)は\[5^{\frac{ 1 }{ 3 }×3}=\style{ color:red; }{ 5 }\]であり、これが答えになります。

公式っぽくまとめると次のようになります。
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同様に(2)以降も解いていけます。

(2)は√(ルート)の中身が\(64\)で、素因数分解すると\(2^6\)です。

よって、\(\sqrt[ 6 ]{ 64 }\)を簡単にすると、\[2^{\frac{ 1 }{ 6 }×6}=\style{ color:red; }{ 2 }\]が答えになります。

(3)も同じですが、小数であることに注意です。
このように小数で書くと面倒なので、分数に直すことをオススメします。

\(0.001\)は\(\displaystyle \frac{ 1 }{ 1000 }\)ですね。

そして、√(ルート)の外にある\(3\)に注目すると\[\displaystyle \frac{ 1 }{ 1000 }=\left(\displaystyle \frac{ 1 }{ 10 } \right )^\style{ color:red; }{ 3 }\]と変形します。

すると、答えがみえてきます。

\(\sqrt[ 3 ]{ 0.001 }=\sqrt[ 3 ]{ \left(\displaystyle \frac{ 1 }{ 10 } \right )^3 }=\style{ color:red; }{ \displaystyle \frac{ 1 }{ 10 } }\)

(4)も累乗根の公式③を使います。

\((\sqrt[ 4 ]{ 9 })^2=\sqrt[ 4 ]{ 9^2 }\)

ここまでくれば、答えはすぐそこです。

\(9=3^2\)であることから、
\(\sqrt[ 4 ]{ 9^2 }=\sqrt[ 4 ]{ 3^4 }=\style{ color:red; }{ 3 }\)
となります。

最後の(5)は、累乗根の公式①を使います。

\(\sqrt[ 4 ]{ 3 }×\sqrt[ 4 ]{ 27 }=\sqrt[ 4 ]{ 3×27 }\)

\(27=3^3\)なので、\[\sqrt[ 4 ]{ 3×27 }=\sqrt[ 4 ]{ 3^4 }=\style{ color:red; }{ 3 }\]が答えになります。

累乗根のまとめ

いかがでしたか?

2分の1乗など、少しイメージがわきにくいとは思いますが、理屈をきちんと理解できればあとは機械的に計算ができます。

累乗根つきの数を簡単にしたり、計算したりできるように演習を積んでいきましょう。
累乗根の公式などはきちんと押さえておくようにしましょうね!