【3分で分かる】累乗根とは?定義や計算方法、公式をどこよりも分かりやすく解説!

突然ですが皆さんは、3の2分の1乗がどんな値になるかわかりますか?
数字の右上についている数は、皆さんが見慣れているように必ずしも整数であるわけではありません。

今回は、このようなトピックを扱いたいと思います!
つまり「累乗根」です。

この累乗根が何かということや、公式、練習問題など盛りだくさんの内容になっています。

ぜひ、最後まで読んでいってくださいね!

累乗根とは?

ここでは、累乗根について簡単に説明していこうと思います。

まず、累乗根は「るいじょうこん」と読みます。結構漢字が難しいですよね。

さて次に、累乗根とは何でしょうか?
まずは、Wikipediaの説明を紹介しておきますね。

累乗根とは、
「冪乗(累乗)に相対する概念で、冪乗すると与えられた数になるような新たな数のこと」
をいう、とのことだそうです。

うーむ…言葉が難しくて理解しづらいですね笑
もっと簡単に説明できないでしょうか?

私なりに説明しましょう!
まず\(n\)乗して\(a\)になるような数を\(a\)の\(n\)乗根というのだと思ってください。
そして、この説明で出てきた\(n\)乗根(\(n=0,1,2…\))になる数のことを全てまとめて累乗根といいます。
もっと難しかったでしょうか…?笑

では例を出して考えてみましょう。
たとえば、\(2\)は\(3\)乗して\(8\)になりますよね。

この時、先ほどの説明に当てはめると、「\(3\)乗して\(8\)になるような数\(2\)は\(8\)の\(3\)乗根」となりますね。
ここでの\(2\)という数が、\(8\)という数の累乗根になっているということです。
(逆に、\(8\)は\(2\)の\(3\)乗になっていることに気づけるとOKです)

イメージはつかめたでしょうか?
少し整理してみます。

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累乗根を考える上での注意

ただし、累乗根を考える際には注意点があります。

それは「\(n\)乗して\(a\)になるような数を\(a\)の\(n\)乗根」という定義において、

\(n\)が奇数の時には、\(a\)の正負に関係なく累乗根は1つだけ存在します。
例えば、\(3\)乗して\(27\)になる数は\(3\)ただ1つですし、\(3\)乗して\(-27\)になる数は\(-3\)ただ1つですね。

しかし一方で、\(n\)が偶数の時は少しやっかいなのです。

\(n\)が偶数の時は、\(a\)が正の時は累乗根は\(2\)つ、\(a\)が負の時は累乗根はありません。
例えば、\(2\)乗して\(4\)になる数は\(2\)と\(-2\)の2つですが、\(2\)乗して\(-4\)になる数はありません。
(もちろんここでは実数しか考えていません)

累乗根がいくつ出てくるかを確認するためには、\(y=x^2\)(\(n\)が偶数)と\(y=x^3\)(\(n\)が奇数)の関数を使って考えてみることができます。
まずは、\(y=x^2\)で適当に正の\(y\)座標を選んで、いくつ対応する\(x\)座標が出てくるかみてみます。

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先程確認した通り、2つ対応する\(x\)座標が出てきました。
もちろん適当に選んだ\(y\)座標が負であれば、対応する\(x\)座標はありません。

ここで出てくる\(x\)の個数がそのまま累乗根の個数に一致しています。
同じことを違う側面から考えているだけですからね。

次に、\(y=x^3\)で適当に\(y\)座標を選んで、いくつ対応する\(x\)座標が出てくるかみてみます

Screen Shot 2017-12-05 at 2.28.19

お分かりの通り、1つですね。
これは、\(y\)座標が正であろうと負であろうと変わりません。

これだけはしっかり注意しておきましょう!

累乗根の表記方法

次に累乗根の表記方法について説明していきます。
これは、いたってシンプルです。

皆さんは、\(3\)の平方根と言われて何を思いつくでしょうか。
\(\sqrt{ 3 }\)と\(-\sqrt{ 3 }\)ですね。

今回は\(\sqrt{ 3 }\)に焦点を当てて説明します。
さて、この普段何気なく使っているこの\(\sqrt{ 3 }\)ですが、これは省略形であることを知っていますか?

実は、\(\sqrt{ 3 }\)は\(\sqrt[ 2 ]{ 3 }\)というものの省略形なのですね。
なぜ省略するのか、を説明すると少し難しいし、長くなってしまうので、こちらのリンクを参考にしてみてください。
累乗根2の説明はこちら

また、平方根と言われていますが、もちろん\(\sqrt{ 3 }\)は\(3\)の2乗根ですね。

つまり、\(a\)の\(n\)乗根は\(\sqrt[ n ]{ a }\)と表記されます。
読み方ですが、「\(n\)乗根\(a\)」と読むのが正しいです。

2分の1乗を考える際のヒント:累乗根

では、ここで少し話を変えて、冒頭にも出てきた。
「\(3^\frac{ 1 }{ 2 }\)って何?」
ということについて考えていきましょう。

まず、\(\sqrt{ 3 }\)を\(2\)乗すると\(3\)になりますね。
これは大丈夫かと思います。

では、\(3^\frac{ 1 }{ 2 }\)を\(2\)乗すると

\((3^\frac{ 1 }{ 2 })^2=3^{\frac{ 1 }{ 2 }×2}=3\)

と\(\sqrt{ 3 }\)を\(2\)乗した場合と結果が\(3\)という値で同じになります。
つまり、\[\sqrt{ 3 }=3^\frac{ 1 }{ 2 }\]ということに気がつきましたか?

さらに、\(\sqrt{ 3 }\)は\(\sqrt[ 2 ]{ 3 }\)の省略形だったので\[\style{ color:red; }{ 3^\frac{ 1 }{ 2 }=\sqrt[ 2 ]{ 3 } }\]でもありますね。

\(3\)の\(\frac{ 1 }{ 2 }\)乗が、\(3\)の2乗根(平方根)となり、\(\sqrt[ 2 ]{ 3 }\)になるということは、

\(3\)の\(\frac{ 1 }{ 3 }\)乗が、\(3\)の3乗根となり、\(\sqrt[ 3 ]{ 3 }\)と等しい。
\(3\)の\(\frac{ 1 }{ 4 }\)乗が、\(3\)の4乗根となり、\(\sqrt[ 4 ]{ 3 }\)と等しい。
\(3\)の\(\frac{ 1 }{ 5 }\)乗が、\(3\)の5乗根となり、\(\sqrt[ 5 ]{ 3 }\)と等しい。

となっていきます。

まとめると、「正の整数\(n\)に対して\(a\)の\(\frac{ 1 }{ n }\)乗を\(a\)の正の\(n\)乗根、つまり\(\sqrt[ n ]{ a }\)」と定義します。

よって、\(2\)分の\(1\)乗というのは、\(2\)乗根のことを指しているということだったのですね。
この言い換えができるようになると、分数の累乗もわかってくると思います!

累乗根の公式

具体的な計算に取り組む前に、累乗根で主に出てくる公式を確認しておきましょう。
累乗根の公式は、大きく5つあります。

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次のページでは、上の公式を1つずつ証明していきます。
公式は、証明とセットで覚えることで忘れにくくなり、万が一忘れても自分で作り出すことができるので、しっかり押さえましょう!

次ページ:累乗根の公式の証明を確認してみよう!