高校生は頻繁に使うものですよね。
一度は「なんだこれ？」と思ったことはありませんか？日頃よく使ってるけど、実はよく知らないままに使っていませんか？
今回は、そんな\(f(x)\)について解説していこうと思います！
\(f(x)\)について疑問を抱えている人は、ぜひ最後まで読んでみてくださいね〜。
目次
\(f(x)\)についての疑問
\(f(x)\)とは？
みなさんが、絶対に一度は疑問に思ったことがあるのではないでしょうか？
\(f(x)\)は、数学の世界では「\(x\)を変数とした関数」という意味で使われています。
\(y\)と違いはありません。
では、なぜ\(f\)なのでしょうか？
これは正直なんでも良いのです。自分で設定さえできれば、\(f\)でも\(g\)でも\(h\)でもなんでも良いのです。
しかし、多くの場合\(f\)が使われているのには一応のわけがあります。
\(f(x)\)の\(f\)は英語の\(function\)の頭文字を取ったものです。
高校生であれば、よく面積を\(S(x)\)、体積を\(V(x)\)と表記することがあると思います。
これも面積の英訳である\(square\)と面積の英訳の\(volume\)の頭文字をとっています。
\(function\)には、高校英語では「機能」、「作用」などと習う単語かもしれません。
しかし、もう1つ重要な意味があって、それが関数という意味です。
関数については、数学に限らず自由に設定が可能なものです。例えば、「\(f(x)=x\)の日本語訳」と定義したとします。
すると、例えばこのように結果が出てきます。
このように、\(f(x)\)の\(x\)の部分に何かを入力すれば、決まった法則で何かが出力されるのが関数の役目です。
さらに、これを\(y\)と表記せずに、\(f(x)\)と表記することで、\(x\)の部分に何を入力したかが一目でわかるようになっています。
これが\(f(x)\)と表記する最大のメリットといっても過言ではありません。
以上が、\(f(x)\)って何！？に対する回答になります。
どんどんみていきましょう！
\(f(x)\)と一緒によく出てくる\(g(x)\)って何？
\(g(x)\)も\(f(x)\)とともによく出てくる、関数の表記ですね。
\(g(x)\)には実は特に意味はありません。
単純にアルファベット順で\(f\)の隣だったというだけです。
\(g(x)\)は、単に\(f(x)\)のお友達みたいな立ち位置です。
深い意味は特にないので、気にする必要はありませんよ！
\(y=x^2+3x+6\)を\(f(x)=x^2+3x+6\)と書き換えるのはなぜ？
これも、高校数学ではよく行う作業です。しかし、なぜわざわざ置き換えるのでしょうか？
これは先ほどの述べましたが、\(f(x)\)と表記することで、\(x\)の部分に何を入力したかが一目でわかるようになるというメリットがあるからです。
実際に\(x\)に値を代入して確かめてみましょう。
\(y=x^2+3x+6\)と\(f(x)=x^2+3x+6\)で、それぞれ\(x=4\)の時の\(y\)または\(f(x)\)の値を求める問題が出たとします。
\(y=x^2+3x+6\)と表記した場合、
「\(x=4\)の時、\(x=4\)を代入して\(y=34\)」と書けば答えになります。
一方、\(f(x)=x^2+3x+6\)と表記した場合、
「\(x=4\)の時、\(f(4)=34\)」と書くだけで答えになってしまうのです！
\(f(4)\)と書くことで、言葉で説明しなくても「\(x\)に\(4\)を代入して」が表現でき、全体的にすっきりとわかりやすくなります。
これが置き換える理由です。文章で表現するのが面倒な人は、ぜひ積極的に\(f(x)\)を使いましょう！
\(y=f(x)\)って何を表しているの？
これも今までの説明とかぶる部分があるかもしれませんが、説明します。
\(y=f（x）\)とは、「\(y\)は\(x\)の関数です」ということを数式で書いたものです。
「\(y\)は\(x\)の関数」とは、\(x\)の値を決めると、\(y\)の値もそれによって1つに決まるという意味です。
また、\(f(x)\)は\(f(x,y)\)と表記されることもあります。
\(f(x)=…\)とおくという時の「おく」って何？
よく、模範解答に「\(f(x)=…\)とおく」という文言が冒頭に書いてあることはありませんか？
この「おく」という言葉が使われるのは、なぜなのでしょうか？もっと他の良い言い方はないのでしょうか？
漢字の「置く」であれば、何か不自然な感じがしそうですよね…
説明すると、この「おく」という言葉は、辞書に載っているような意味ではなく、数学における特有な表現です。
この「おく」を日本語で言い換えると「設定する」とか「決定する」という意味になります。
つまり解答者自身が、その問題についてのみ有効な決まりごとを作ることを、日本語で「おく」といっているのですね。
\(f(f(x))\)とは？
いよいよ最後の疑問です。
時々ですが、大学入試問題で「\(f(f(x))\)の値を求めよ」といった問題を見かけるかもしれません。
この\(f(f(x))\)って何なのでしょうか？
これは、これまでの\(f(x)\)の説明でわかった人もいるかもしれませんが、例題を解いて確認してみましょう。
例題
\(f(x)=2x+5\)の時、関数\(f(f(x))\)を求めよ。
例題の解答・解説
この手の問題の解き方は、今までと同様に「一番外の\(f\)の()の中から崩していく」というやり方です。
つまり\[f(f(x))=f(2x+5)\]とまずは書き換えます。
そしてもともと\(f(x)\)で\(x\)だったところを\(2x+5\)に置き換えます。
よって、
\(f(2x+5)=2(2x+5)+5=4x+15\)
になります。
最終的な答えは\[\style{ color:red; }{ f(f(x))=4x+15 }\]になります。
もちろんやり方さえわかっていれば、\(f(f(f(x)))\)なんて関数も求めることができますよ(ちなみに\(f(f(f(x)))=8x+35\)です)。
\(f(x)\)が出てくる問題
最後に\(f(x)\)を使ったほうが便利な問題を一問解いてみましょう！
問題
次の二次不等式の解を全て求めよ。
\(x^2+3x+4>0\)
問題の解答・解説
※まだ、二次不等式について習っていない人は飛ばしても良いです。
また、二次不等式の基本が確認したい人はこちらも参照してください。
今回は、二次不等式を\(f(x)\)を使って解きたいと思います。
まず、問題となっている二次不等式の左辺を\(f(x)\)とおきます。
つまり\(f(x)=x^2+3x+4\)とおくということです。
そして、\(f(x)=0\)とおいて二次方程式にすることによって、判別式が使えるようになります。
二次不等式のままでは、判別式は使えないので注意してくださいね。
判別式の記事はこちら↓
この二次方程式の判別式を\(D\)とすると、\[D=9-16=-7<0\]
\(x\)の2乗の前の係数が正で、\(D<0\)より\(y=f(x)\)のグラフは下のようになります。
よって\(f(x)>0\) を満たすような\(x\)の解は全ての実数であるという答えになります。
\(f(x)\)についての疑問まとめ
いかがでしたか？
少しは、\(f(x)\)についての疑問点が晴れたでしょうか？
\(f(x)\)は問題文などでもよく出てきます。そんな時に慌てなくて済むように意味を今一度確認しましょう。
また、この\(f(x)\)をよく使う記事も合わせて確認すると力がつきますよ！
ぜひ、\(f(x)\)について完璧にしてみてくださいね。
それでは！！
