はじめに：三角形の外接円の半径
三角形の外接円の半径の長さを求める公式、あなたはすぐに思いつきますか？
高2や高3ならば間違いなく学習済みのある公式を使えばよいのですが、これが意外と出てこない。内接円と混同してしまうこともあると思います。
本記事では、三角形の辺の長さ・角の大きさなどから、どのように外接円の半径の長さを求めればよいか解説します。
外接円と内接円の違いについても是非おさえておきましょう。
目次
外接円と内接円の違い
まずは、外接円と内接円の区別をすぐ行えるようにしましょう。
外に接する円、内に接する円……などと言葉じりで覚えようとするとうまくいきません。
定義だけでなく、図のイメージを頭に入れておくことをおすすめします。
三角形の外接円とは
三角形の外接円とは、その三角形の3つの頂点をすべて通る円のことです。四角形なら4つの頂点を通る、五角形なら5つ、といった具合に増えていきます。
三角形が1つの円にすっぽりはまっている図をイメージするとよいでしょう。
1つの三角形について外接円がいくつもあるといったことはありません。必ず1つだけです。だから、ある三角形の外接円の半径も、長さは1通りに決まるといえます。
三角形の内接円とは
三角形の内接円とは、その三角形の3つの辺すべてに接する円のことです。四角形なら4つの辺に接する、五角形なら5つ、といった具合に増えていくのは外接円と同様。
三角形のなかに1つの円がすっぽりはまっている図をイメージするとよいでしょう。
一見すると、三角形が円の外側に接するようにもとれてしまい、「これって外接円？」と誤解してしまうことがあります。これは内接円ですよ！
混乱に陥らないよう、ここで図のイメージをしっかり頭に叩き込むこと。
外接円と内接円、しっかり区別できましたか？ここからは外接円に話を絞っていきます。
外接円の半径に関する公式
外接円の半径の長さを求めるのに使う公式は、まずは何といっても正弦定理。ただし、与えられる三角形の辺・角の情報によっては、正弦定理だけで解決しないことがあります。
具体的に、どの公式をどういう場面で用いればよいか見ていきましょう。
正弦定理で辺と角を三角形の外接円の半径に変換
正弦定理は以下の式によって与えられます。
\[\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R\] ※\(R\)：外接円の半径
三角比の範囲でとりあげられる正弦定理ですが、そこでは
\(\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}\)
の部分を使うことが多く、\(2R\)の部分に注目することはあまりありません。三角比の分野において「\(2R\)って何に使うんだろう？」と思った人も多かったのではないでしょうか？
しかし、外接円の半径の長さを求めるにあたっては、この\(2R\)が大活躍します。
というのも、\(\frac{a}{sinA},\frac{b}{sinB},\frac{c}{sinC}\)のうちいずれか1つでも値を求めることができれば、Rの値も自動的に求まるからです。
だから、三角形の外接円の半径の長さを求めたいときは、まず\(\frac{a}{sinA},\frac{b}{sinB},\frac{c}{sinC}\)のいずれかを求めることができないか探します。
上の図で考えてみると、ある1辺の長さと、その対角の\(sin\)の値がセットでわかっていればよいわけです。そうであれば正弦定理で一発。
ただし、いつだって正弦定理がすぐに使えるわけではありませんよね。1辺と対角のセットが組めない場合、三角比の値が1つもわかっていない場合はもう一工夫必要です。
こんなときは余弦定理を用います。
余弦定理で辺を三角比に変換
余弦定理はさまざまな形をとるのですが、ここでは以下の式を考えておきます。
\[a^2=b^2+c^2-2bccosA\]
この公式は、正弦定理の項で挙げた「もう一工夫必要な場合」で活躍します。
すぐに正弦定理が使えないとしても、余弦定理を組み合わせることにより、
- 三角形の3辺の長さがわかっている場合
- 三角形の2辺の長さと、それらの対角でない角がわかっている場合
であれば、外接円の半径の長さを求めることができるのです。
正弦定理と余弦定理をおさえておけば、三角形の外接円の半径に関して恐れることはありません！
三角形の外接円の半径を求めてみる
正弦定理と余弦定理を用いて、実際に三角形の外接円の半径を求めてみましょう。
図を見て、どのような手順を踏めばよいか考えながら読み進めてください。
三角形の1辺の長さとその対角がわかっていたら？
まずは1辺と対角のセットがないか探します。今回は辺\(a\)と角\(A\)が見つかりましたね。そうであれば正弦定理です。
三角形\(ABC\)の外接円の半径を\(R\)とすると
正弦定理\(\frac{a}{sinA}=2R\)より
\(R=\frac{\sqrt13}{2sin60°}=\frac{\sqrt13}{\sqrt3}=\frac{\sqrt39}{3}\)
したがって、三角形の外接円の半径の長さは\(\frac{\sqrt39}{3}\)でした。
対角がわかっていないなら？
この場合はどうでしょうか。辺と対角のセットはありません。そうであれば余弦定理を使えないか考えます。
余弦定理より、\(a^2=b^2+c^2-2bccosA\)であって、これに\(a=\sqrt13,b=3,c=4\)を代入すると
\((\sqrt13)^2=3^2+4^2-2 \cdot 3 \cdot 4cosA\)
\(24cosA=12\)
\(∴cosA=\frac{1}{2}\)
余弦定理によって\(cosA\)の値が求まりました。これを\(sinA\)に変換すれば正弦定理\(\frac{a}{sinA}=2R\)が使えるようになります。あと一歩です。
\(sin^2A+cos^2A=1\)より
\(sin^2A=1-(\frac{1}{2})^2=\frac{3}{4}\)
\(A\)は三角形の内角で\(0° \lt A \lt 180°\)だから、\(sinA>0\)。
ゆえに、\(sinA=\frac{\sqrt3}{4}\)。
あとは正弦定理\(\frac{a}{sinA}=2R\)に、\(a=\sqrt13,sinA=\frac{\sqrt3}{2}\)を代入すると、
\(R=\frac{\sqrt39}{3}\)
が求まります。
最後に、こんな場合はどうしましょうか？
これも、余弦定理\(a^2=b^2+c^2-2bccosA\)に\(b=3,c=4,A=60°\)を代入すれば\(a\)が求まるので、上と同じようにできますね。
四角形の外接円の半径も求めることができる
外接円というのは三角形に限った話ではありません。四角形にも五角形にも外接円は存在します。
では、四角形などの外接円の半径はどのように求めればよいのか？
こういうときは、四角形の対角線を引いて2つの三角形をつくり、四角形の外接円はこれら2つの三角形の外接円でもあることに着目します。
あとはどちらかの三角形の外接円の半径を求めるようもっていけばOK！
おわりに：三角形の外接円に関する公式=正弦定理を何よりも忘れない
正弦定理と余弦定理。
三角比の範囲で必ず教わるような公式を使うことで、外接円の半径を求めることができます。
これらの公式を使わなくても求められなくはないのですが、やはり骨が折れますので、この機会に強く印象づけておきましょう。
三角形の外接円の半径を求める血筋をすぐ立てられない人は、外接円に関わる公式をすぐに思い出せないところに原因があることがほとんど。
逆に、この記事に1度目を通しておくことで、実際に問題にあたった際に路頭に迷うといったこともなくなるはずです。それでは。
