【3分で分かる!】円の方程式の求め方・公式(練習問題つき)

円の方程式の求め方と公式
図形の問題でも、関数や不等式の問題でも、円の方程式を求める問題はよく出題されます。

そこで今回は円の方程式の求め方と、求めるときに使える便利な公式を紹介します!

最後には理解を深めるための練習問題も用意しました。

ぜひ読んで円の方程式の求め方をマスターしてください!

円の方程式の一般形

まず、円の方程式を求めるにあたり、必ず覚えてほしい公式の1つが、円の方程式の一般形です。

円の中心の座標を(a,b)、半径をrとしたとき、円の方程式は
\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)
です。

「円の方程式を求めなさい」と言われたら、この形で答えます。

なぜこの式が円を表すのか

円上の点とは、中心との距離が半径に等しくなる点のことです。

円の方程式

中心が\((a,b)\)、半径が\(r\)の円上の点\((x,y)\)とすると、
(中心との距離)\(=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}\)
(半径)\(=r\)

(中心との距離)=(半径)であることから、
\(\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=r\)

ルートのままだと計算しづらいので両辺を2乗して、
\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)
という一般形が出ます。

ただし、特殊な形として
\(x^2+ax+y^2+by+c=0\)
を用いることもありますので、こちらも覚えておきましょう。

これは、\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)を展開して整理した
\[x^2+(-2a)x+y^2+(-2b)y+(a^2+b^2-r^2)=0\] の\(-2a,-2b,a^2+b^2-r^2\)を置き換えたものです。

円の方程式の求め方

どんな問題であれ、だいたいは分かっている情報を一般形に代入することで求められます。では、問題のパターン別にみていきましょう。

まず、円に関する情報として、中心半径円上の点の3つがあります。

円の方程式を求めるとき、
中心半径が分かっている
中心円上の1点が分かっている
円上の3点が分かっている
のどれかのパターンに分類できます。

それぞれの場合について、円の方程式の求め方を、例題を用いて解説します。

パターン①円の中心と半径が分かっている

例題1

半径が\(3\)、中心が\((1,2)\)の円の方程式を求めよ。

この場合は簡単です。先ほどの円の方程式の一般形(\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\))に値を代入するだけです。

\((x-1)^2+(y-2)^2=3^2\)

右辺を計算して、
\((x-1)^2+(y-2)^2=9\)
が答えです。

パターン②円の中心と円上の1点が分かっている

例題2

中心が\((1,2)\)で点\((5,5)\)を通る円の方程式を求めよ。

これはパターン①を少し応用したものです。

この場合、中心\((1,2)\)と点\((5,5)\)の距離が円の半径になるので、
(円の半径)\(^2=(1-5)^2+(2-5)^2=(-4)^2+(-3)^2=16+9=25\)
です。

あとはパターン①と同様に、
\((x-1)^2+(y-2)^2=25\)
が答えとなります。

パターン③円上の3点が分かっている

例題3

3点\((1,2)\)、\((4,-1)\)、\((-2,-1)\)を通る円の方程式を求めよ。

円の方程式を求める問題で最も出題されるパターンです。この場合は特殊な形の一般形(\(x^2+ax+y^2+by+c=0\))に値を代入して求めます。

まず、この円は点\((1,2)\)を通るので、\(x=1,y=2\)を代入して、
\[1^2+a×1+2^2+b×2+c=0\] 整理すると\[a+2b+c=-5・・・(1)\]となります。

また、この円は点\((4,-1)\)も通るので、\(x=4,y=-1\)を代入して、
\[4^2+a×4+(-1)^2+b×(-1)+c=0\] 整理すると\[4a-b+c=-17・・・(2)\]となります。

さらにこの円は点\((-2,-1)\)も通るので、\(x=-2,y=-1\)を代入して、
\[(-2)^2+a×(-2)+(-1)^2+b×(-1)+c=0\] 整理すると\[-2a-b+c=-5・・・(3)\]となります。

あとは(1)〜(3)を連立方程式として解くだけです。3つの連立方程式を解くのは面倒ですが、円の方程式の場合、簡単に2つの連立方程式に変えることができます。

その方法とは、(1)、(2)のそれぞれの式から(3)の式を引くことです

\((1)-(3)\)を計算すると
円の方程式

より、\(3a+3b=0・・・(4)\)

\((2)-(3)\)を計算すると
円の方程式
より、\(6a=-12・・・(5)\)

(4)と(5)の連立方程式になりました。
\[\left\{
\begin{array}{l}
3a + 3b = 0・・・(4) \\
6a = -12・・・(5)
\end{array}
\right.\]

あとはこれを解くだけ。

連立方程式の解き方について詳しく知りたい方はこちらをご覧ください。

【3分でわかる!】連立方程式の2つの解き方

2017.05.13

\((5)\)より\(a=-2\)
これを\((4)\)に代入して\(-6+3b=0\)、よって\(b=2\)
さらにこれらを\((1)\)に代入して\(c=-7\)

もとの方程式\(x^2+ax+y^2+by+c=0\)にこれを入れて、\[x^2-2x+y^2+2y-7=0\]が答えとなります。

一般形に直したい場合は、\((x-1)^2+(y+1)^2=9\)です。

練習問題

それでは練習問題を解いて確認してみましょう。

問題

2点\((-2,-2),(2,-2)\)と原点を通る円の方程式を求めなさい。

問題の解答・解説

特殊な形の一般形(\(x^2+ax+y^2+by+c=0\))に値を代入します。

まず、この円は点\((-2,2)\)を通るので、\(x=-2,y=-2\)を代入して、
\[(-2)^2+a×(-2)+(-2)^2+b×(-2)+c=0\] 整理すると\[-2a-2b+c=-8・・・(1)\]となります。

また、この円は点\((2,-2)\)も通るので、\(x=2,y=-2\)を代入して、
\[2^2+a×2+(-2)^2+b×(-2)+c=0\] 整理すると\[2a-2b+c=-8・・・(2)\]となります。

さらにこの円は原点\((0,0)\)も通るので、\(x=0,y=0\)を代入して、
\[0^2+a×0+0^2+b×0+c=0\] 整理すると\[c=0・・・(3)\]となります。

\((3)\)の\(c=0\)を\((1),(2)\)に代入すると、連立方程式が出ます。
\[\left\{
\begin{array}{l}
-2a – 2b = 0 \\
2a-2b = -8
\end{array}
\right.\]

この連立方程式を解けば\[a=2,b=2\]が出てきます。

\(x^2+ax+y^2+by+c=0\)に求めた\(a=2,b=2,c=0\)の値を入れれば、求める円の方程式は
\[x^2+2x+y^2+2y=0\] と分かりました。

円の方程式の求め方は今後の数学でも応用できる

いかがでしたか?

今回は円の方程式を扱いましたが、数Ⅲで出てくる「楕円」や「双曲線」の方程式を求める際にもこの解き方が使えます。

ぜひ練習して身につけてください!