【3分で分かる！】虚数・複素数の計算問題をわかりやすく解説（練習問題付き）

例題1

\((3+2i)-(8-4i)\)を計算しなさい。

例題1の解答・解説

iをxにおきかえて、
\((3+2x)-(8-4x)\)
\(=3+2x-8+4x\)
\(=-5+6x\)

とし、xをiに戻して\(-5+6i\)が答えになります。

例題2

\((3+2i)(8-4i)\)を計算しなさい。

例題2の解答・解説

今回はかけ算です。これもiをxにおきかえて計算します。

\((3+2x)(8-4x)\)
\(=24-12x+16x-8x^2\)
\(=24+4x-8x^2\)

ここでxの二乗の項が出てきました。\(i^2=-1\)なのでこれに対応する\(x^2=-1\)を代入し、
\(24+4x-8x^2\)
\(=24+4x+8\)
\(=32+4x\)

xをiに戻して\(32+4i\)が答えになります。

例題3

次の等式を満たす実数x,yの値を求めよ
\((4+2i)x+(1+4i)y+14=0\)

例題3の解答・解説

まずは式を展開し、実部と虚部に分けます。
\(4x+2xi+y+4yi+14=0\)（式を展開）
\((4x+y+14)+(2x+4y)i=0\)（実部と虚部に分解）

ここで、右辺が0ということは左辺の実部も虚部も0になります。

（実部）=0、（虚部）=0なので
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
4x+y+14=0 ・・・①\\
2x+4y=0　・・・②
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

この連立方程式が成り立つので、これからこの連立方程式を解きます。

②の式の全体を2で割り、yの項を移項します。
\(2x+4y=0\)
\(x+2y=0\)（全体を2で割った）
\(x=-2y\)（yの項を右辺へ）

ここで出てきた\(x=-2y\)を①の方程式に代入します。

\(4x+y+14=0\)
\(4(-2y)+y+14=0\)（\(x=-2y\)を代入）
\(-8y+y+14=0\)
\(-7y+14=0\)
\(7y=14\)
\(y=2\)

よって\(x=-4\)、\(y=2\)が解です。

問題1

\((1+2i)(3i+4)\)を計算しなさい。

問題1の解答・解説

iをxにおきかえて、
\((1+2x)(3x+4)\)

普通のxだと思って計算すると、
\((1+2x)(3x+4)\)
\(=3x+4+6x^2+8x\)
\(=11x+4+6x^2\)

\(x^2=-1\)を代入して、
\(11x+4+6x^2\)
\(=11x+4-6\)
\(=-2+11x\)

xをiに戻して、\(-2+11i\)が答えです。

問題2

2乗するとiになるような複素数を求めよ。

問題2の解答・解説

複素数はa+bi（a,bは実数）の形で表せました。

このa+biを2乗するとiになるということは、
\((a+bi)^2 =i\)
ということです。

あとは方程式問題と解き方は同じ。

左辺を展開し、右辺を移項して整理すると、

（実部）=0、（虚部）=0なので
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a^2-b^2=0 ・・・①\\
2ab-1=0　・・・②
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

この連立方程式が成り立ちます。あとはこれを解くだけです。

①式から
\(a^2=b^2\)
\(a=\pm b\)
が分かります。

これを②式に代入するのですが、\(a=b\)と\(a=-b\)のどちらもあり得るので、場合分けして代入します。

(1)\(a=b\)のとき
\(2a^2-1=0\)
\(2a^2=1\)
\(a^2=\frac{1}{2}\)
\(a=\pm\sqrt{\frac{1}{2}}\)

よって
\(a=b=\pm\sqrt{\frac{1}{2}}\)（複合同順）

(2)\(a=-b\)のとき
\(-2a^2-1=0\)
\(2a^2=-1\)
\(a^2=-\frac{1}{2}\)

aは実数だったので、2乗してマイナスになることはありえません。よって\(a=-b\)は正しくないことが分かりました。

(1)(2)から解は\(a=b=\pm\sqrt{\frac{1}{2}}\)（複合同順）です。

a+biの形の複素数を求める問題だったので、答えは\(\pm\sqrt{\frac{1}{2}}\pm\sqrt{\frac{1}{2}}i\)（複合同順）です。