解と係数の関係
解と係数の関係は、使いこなせると本当に役に立つ公式です。
しかし、公式は知っていても実際に使いこなせてはいない人が多いのではないでしょうか。
今回は解と係数の関係の公式の確認から、その使い方までレクチャーします。
目次
解と係数の関係の公式
まず解と係数の関係を確認しましょう。
二次方程式における解と係数の関係
\(ax^2 + bx +c = 0\)の解を\(α\)、\(β\)とすると
$$α + β = – \frac{ b }{ a }$$
$$αβ = \frac{ c }{ a }$$
証明
\(D=b^2-4ac\)とする。ただし\(α\geqβ\)とする。
解の公式より方程式の二つの解は
$$α=\frac{ -b+\sqrt{ D } }{ 2a }$$
$$β=\frac{ -b-\sqrt{ D } }{ 2a }$$
となる。
よって
$$α+β=\frac{ -2b }{ 2a }=-\frac{ b }{ a }$$
$$αβ=\frac{ (-b)^2-D }{ 4a^2 }=\frac{ 4ac }{ 4a^2 }=\frac{ c }{ a }$$
三次方程式における解と係数の関係
\(ax^3 + bx^2 +cx +d = 0\)の解を\(α\)、\(β\)とすると
$$α + β + γ= – \frac{ b }{ a }$$
$$αβ + βγ + γα= \frac{ c }{ a }$$
$$αβγ = -\frac{ d }{ a }$$
証明
3次方程式を\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d=0\)とおく。ただし\(a\neq0\)。
\(x=α、β、γ\)は3次方程式の解だから
$$f(α)=f(β)=f(γ)=0$$
よって\(f(x)\)は\((x-α)、(x-β)、(x-γ)\)を因数に持つ。
すなわち
$$ax^3+bx^2+cx+d=a(x-α)(x-β)(x-γ)$$
両辺をaで割ると
$$x^3+\frac{ b }{ a }x^2+\frac{ c }{ a }x+\frac{ d }{ a }=(x-α)(x-β)(x-γ)$$
右辺を展開し
$$x^3+\frac{ b }{ a }x^2+\frac{ c }{ a }x+\frac{ d }{ a }=x^3−(α+β+γ)x^2+(αβ+βγ+γα)x−αβγ$$
両辺の係数を比較し
$$α+β+γ=−\frac{ b }{ a }$$
$$αβ+βγ+γα=\frac{ c }{ a }$$
$$αβγ=-\frac{ d }{ a }$$
解と係数の関係はいつ使う？
解と係数の関係は
- 二次方程式の解の対称式の問題
- 解の配置問題
で使用することが多いです。
例題を見ていきましょう。
解と係数の関係の例題①：二次方程式の解の対称式の問題
\(x^2 – 5x +2 = 0\)の解を\(α、β\)とおく。
以下の式の値を求めよ。
（1）\((α+2)(β+2)\)
（2）\(α^2 + β^2\)
（3）\(α^3 + β^3\)
（4）\(\frac{ β }{ 2 – α } + \frac{ α }{ 2 – β }\)
解と係数の関係の例題①の解答
解と係数の関係より、
$$α + β = 5$$
$$αβ = 2$$
（1）
$$(α+2)(β+2) \\= αβ +2(α+β)+4\\=2+2\cdot5+4\\=16$$
（2）
$$α^2 + β^2 \\= (α+β)^2-2αβ\\=5^2 – 2\cdot2\\=21$$
（3）
$$α^3 + β^3 = (α+β)(α^2 + β^2 -αβ)$$
（2）より\(α^2 + β^2 = 21\)だから
$$α^3 + β^3 = 5\cdot(21 – 2)\\=95$$
（4）
$$\frac{ β }{ 2 – α } + \frac{ α }{ 2 – β } \\= \frac{ (2-β)β + α(2-α) }{ (2 – α)(2-β) } \\= \frac{2(α+β) – (α^2+β^2)}{4-2(α+β)+αβ}$$
（2）より\(α^2 + β^2 = 21\)だから
$$\frac{ β }{ 2 – α } + \frac{ α }{ 2 – β } \\= \frac{ 2\cdot5-21 }{ 4-2\cdot5+2 } \\=\frac{ 11 }{ 4 }$$
解と係数の関係の例題②：解の配置問題
2次方程式\(x^2-2(a-2)x+3a-8=0\)が異なる2つの正の解をもつように、定数aの値の範囲を求めよ。
解と係数の関係の例題②の解答
判別式を\(D\)とすると、
$$\frac{ D }{ 4 } \\ = (a-2)^2-3a+8 \\= (a-3)(a-4) >0$$
であればよい。
よって\(a<3、4<a\)
…①
また
$$α+β = 2(a-2) >0$$
∴\(a>2\)
…②
さらに、
$$αβ = 3a-8$$
よって
$$a>\frac{ 8 }{ 3 }$$…③
①～③より
$$4<a$$
解と係数の関係についてのまとめ
いかがだったでしょうか。解と係数の関係の使い方がわかりましたか？
複雑な方程式が絡む問題になればなるほど、解と係数の関係を使えるとすっきりと解答を導くことができるようになります。
問題集で練習を積んで、解と係数の関係を自在に使いこなせるようにしましょう！
