因数分解の要点まとめ

数学科目別
この記事は 2016年12月11日に更新されました。

こんにちは、最初に因数分解を習ったときは先生のしゃべっている言葉が日本語に聞こえなかったでおなじみの竹さんですーー

数学にはいろいろな難しいことがありますが、割と序盤でつまずくのが因数分解だと思うんです、、、!

そこで今回はみなさんの数学の成績の前途を開くためにも、因数分解に対してもっている苦手意識を克服していただこうと思います!

それではさっそく参りましょう。

因数分解の要点まとめ【基本編】

まずは因数分解の公式を復習しましょう!

・a²+2ab+b²=0⇔(a+b)²=0
・a²-2ab+b²=0 ⇔ (a-b)²=0
・a²-b²=0⇔(a+b)(a-b)=0
・x²+bx+c=0⇔(x+α)(x+β)=0
   α+β=b
   αβ=c
・ax²+bx+c=0⇔(αx+β)(γx+θ)=0
   αγ=a
   βγ+αθ=b
   βθ=c

まずはxの係数が1、つまり3x²や5x²ではなくx²を含む式に絞って見ていきましょう!

x²+bx+c=0をどうやって因数分解するのか、、、

ところでみなさん、(x+α)(x+β)=0を展開することはすんなりできた人多いんじゃないですか??

因数分解はこの作業を逆向きにするだけです!

展開するときは、x² + xβ + αx + αβ =0を暗算でしますよね?

これをどう簡単に計算するかというと、x²+(α+β)x+αβ=0という便利な式がありました。

因数分解でもこれを使っちゃいましょう!

x²+bx+c=0x²+(α+β)x+αβ=0が同じものを表していることがポイントです。

bのところに入っている数字がある二つの数字の和、cのところに入っている数字がその二つの数字の積になっているんですね。

例えばb=3、c=2だったら、1と2の和が3、1と2の積が2ですから、α=1、β=2であることが分かります。

つまりx²+3x+2=0を因数分解すると(x+1)(x+2)=0になるということが導けました。

xの係数が1の問題は頭の中で考えればすぐ解けることが多いので展開と因数分解の仕組みを理解していれば十分です!

ちなみに積(c)の方から考えた方が簡単に解けますよー!

cが何×何になっているかの方がbが何+何になっているかより少ない場合しかありませんから!

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因数分解の要点まとめ【応用編】

じゃあxの係数が1じゃないときはどうしたらいいんだ!という声にお答えして「たすき掛け」というとっても便利な方法を紹介したいと思います。

image_a440e85
↑これがたすき掛けです!

簡単に言ってしまえば、

  • a=○△
  • b=○◎+△□
  • c=□◎

となるような○、△、□、◎を探すという作業がたすき掛けです。

つまりこれっぽいかな?と思ったらこの式に当てはめてみて、うまく計算が合ったらそれが因数分解の答え!という当たったもん勝ちのシステムです。

このままだととてつもなく分かりにくいと思うので、具体的に数字を入れて考えてみましょう!

6x²+13x−5=0について見ていきましょう。

まず6は 1×62×3 で表すことができます。

次に−5は 1×(−5)(−1)×5 で表すことができます。

この4つの組み合わせのどれかに答えがあるはずです。

その中からこれかな?と思うものを実際に計算してみましょう!

s_5328457058029

xの係数が−7になってしまいました。失敗です。

次にこれはどうでしょうか?

s_5328457092002

これは6x²+13x−5=0になりますね!

つまり因数分解の答えは (2x+5)(3x−1)=0 になります。

こんな感じで計算をしていってみてください。

慣れれば一発で答えを当てられるようになりますよ!

たすき掛けの練習

それではここまでの復習です。

実際に問題を解いてみましょう!

(1)6x²+7x-3=0
(2)8x²y+10xy+3y=0

解答
(1)(2x+3)(3x-1)=0

これは普通のたすき掛けの問題です。

何度か失敗してもすぐに答えにたどり着けると思います!

ちなみにたすき掛けはこうなります↓
s_5328587116394

(2)y(4x+3)(2x+1)=0

この問題、一見とても複雑そうですが、最初にyでくくると

s_5328550706830

普通の問題に変わります!

そのあとのたすき掛けはこうなります↓
s_5328587073671

まとめ

いかがでしたか??

因数分解も丁寧に考えていけば、そんな難解なことはありません。

「今まであんなに分からなかった因数分解がすらすら解ける!」

という方がたくさんいらっしゃれば嬉しいです!!

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