【3分で分かる!】半角公式の覚え方と証明、使い方のコツ

【3分で分かる!】半角公式の覚え方と証明、使い方のコツ

半角公式の使い方

公式を覚えて、証明を学んだところで実際に問題を解いてみましょう。

問題

$$ π<θ<2π,\\
\cosθ=\frac{1}{3}$$
のとき
$$\cos\frac{θ}{2}$$
の値を求めよ

cosθの値がわかっているので早速公式を適用していきます。

\begin{align}
\cos^2\frac{θ}{2}&=\frac{1+\cosθ}{2}\\
&=\frac{1+\frac{1}{3}}{2} \\
&=\frac{2}{3}
\end{align}

これで\(cos^2\frac{θ}{2}\)の値は求まりました。

しかし、すぐに答えを求めることができません。

θの値によって\(\cos\frac{θ}{2}\)の正負が異なるからです。

よって、次は正負の検討を行います。

問題文の条件にこのようなものがありました。

\(π<θ<2π \)

これより、

\(\frac{π}{2}<\frac{θ}{2}<π\)

となります。問題文の条件から\(\frac{θ}{2}\)の範囲を導くことができました。

これより以下のことが導けます。

\(\cos\frac{θ}{2}<0\)

\(\frac{π}{2}<\frac{θ}{2}<π\)の間で\(cos\frac{θ}{2}\)が正となることはありませんからね。

よって、\(\cos^2\frac{θ}{2}=\frac{2}{3}\)より

\begin{align}
\cos\frac{θ}{2}&=-\sqrt{\frac{2}{3}} \\
&=-\frac{\sqrt{6}}{3} ・・・(答)
\end{align}

半角の公式を使う上での注意点

半角公式を利用する上での注意点は二乗を外すときです。

試験でも狙われやすいポイントです。

θの値によって正か負か変わってくるので、検討を忘れないようにしましょう。

半角公式は問題を解く際に特に注意

半角公式は公式が分数になって覚えにくいかもしれませんが、倍角の公式から導き出されることを踏まえると覚えられるようになります。

また、半角の公式を問題で使うときは、二乗を外すときだけ正負に注意するようにしましょう。

以上の2つさえ注意すれば、半角公式はマスターしたといって良いでしょう。





皆さんの意見を聞かせてください!
合格サプリWEBに関するアンケート

合格サプリWEBへの意見を聞かせてください!回答していただいた中から毎月抽選で3名の方に、アマゾンギフトカード1000円分をプレゼントいたします。