【3分で分かる!】平方完成のやり方(練習問題つき)

今回は、平方完成のやり方をこれから平方完成の勉強を始める人にはもちろん、理解が曖昧で復習したい人にも分かりやすく解説します!

平方完成は二次関数や二次方程式の分野でとても重要です。
例えば二次関数のグラフの問題を解くためには必ず必要だったりします。

平方完成は一見複雑な操作のように思えますが、具体的な式で何度か練習すれば必ずマスターすることができる簡単なものです。

ということで、この記事は教科書では数行程度しか書いていない平方完成を徹底的に解説していくものになります。
1ページ目では平方完成の基本を、2ページ目では平方完成のコツを確認し、最後のページには練習問題を用意しています。

ぜひ最後まで読んで、平方完成を完璧にマスターしましょう!

平方完成とは?(定義と公式)

まずは平方完成とはどんなものであるかを確認しましょう。
平方完成とは、\(y=ax^2+bx+c\)の形の関数を\(y=a(x-p)^2+q\)という形に変形することです。

スライド2

早速ですが、ここで確認しておくことがあります。
それは\(p\)や\(q\)という文字はどっからきたの!?ということを考えてはいけないということです。

なぜかというと、\(p\)や\(q\)は適当な定数だからです。
別に\(p\)は2でも6でもなんでもいいわけです。
(ただし、数であることに注意!)

よって、\(y=a(x-p)^2+q\)には意味は特にはありません。
単純に、「平方完成をするとこんな形になるんだよ!」ということを表しているに過ぎません。

ここでは単純に2乗の形を作ったことに注目しておいてください。

ちゃんと\(y=ax^2+bx+c\)を平方完成とすると、\[\style{ color:red; }{ y=a\left(x+\displaystyle \frac{ b }{ 2a } \right )^2-\displaystyle \frac{ b^2 }{ 4a }+c }\]となります。

つまり、先ほどの適当な定数\(p\)、\(q\)は、\[p=-\displaystyle \frac{ b }{ 2a }\]\[q=-\displaystyle \frac{ b^2 }{ 4a }+c\]であったことがわかりますね。

平方完成はとても強力な武器で、例えば二次関数の頂点が分かるようになります。
二次関数の頂点の求め方についてはこちらをご覧ください。

【3分で分かる!】2次関数のグラフの描き方【完全版】

2017.03.21

でも、なぜ\(y=a\left(x+\displaystyle \frac{ b }{ 2a } \right )^2-\displaystyle \frac{ b^2 }{ 4a }+c\)という形にする必要があるのだろうかと思ったりしませんか?

複雑だから覚えにくい!!と思う人も多いのではないでしょうか?

でも、大丈夫!
次に紹介する公式を理解すればどんな時でも平方完成を正確にできるようになります。

次はその証明を見ていくことにしましょう!

平方完成の公式の証明

ここでは平方完成の公式の証明を確認してみましょう!
図と簡単な説明で進めていきます。

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まずは、\(y=ax^2+bx+c\)の右辺である\(ax^2+bx+c\)を図のように長方形で表してみます。

Screen Shot 2018-03-26 at 1.09.09

次に\(a\)で全体をくくり、かっこの中身を図で表します。
(以下図はかっこの中身を表します)

Screen Shot 2018-03-26 at 1.12.12

次に\(\displaystyle \frac{ b }{ a }\)を2つに分けます。

Screen Shot 2018-03-26 at 1.31.32

2つの\(\displaystyle \frac{ b }{ 2a }\)を一辺が\(x\)の正方形の側面にくっつけます。

また、\(\left( \displaystyle \frac{ b }{ 2a } \right )^2\)を2つ準備しておきます。
(帳尻を合わせるために\(+\)と\(-\)の2つを用意しておきます。)

Screen Shot 2018-03-26 at 1.34.59

\(+\)の方の\(\left( \displaystyle \frac{ b }{ 2a } \right )^2\)を図のようにくっつけて、一辺が\(x+\displaystyle \frac{ b }{ 2a }\)の正三角形を作ります。

Screen Shot 2018-03-26 at 1.38.27

正三角形の面積は、(一辺)×(一辺)で求めることができるので、図のように式を変形します。

Screen Shot 2018-03-26 at 1.49.58

最後に余計な部分をかっこの外に出して完成です。

いかがだったでしょうか?
面倒ではありますが、難しくはないと思います。

これを頭に入れておけば、平方完成は絶対に忘れることはないでしょう。
しっかりと理解しましょうね。

では、次のページでは平方完成の具体的なやり方。
また、平方完成のコツを見ていくことにしましょう!

次ページ:平方完成のやり方とそのコツを紹介!




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