【3分で分かる！】比例と比例のグラフの描き方、比例定数の求め方などをわかりやすく

例題

\(y\)は\(x\)に比例し、\(x=7\)のとき、\(y=21\)です。この時の比例定数を求めよ。

例題の解答・解説

\(a\)=\(\displaystyle\frac{ y }{ x }\)を使えば一瞬です。比例定数\(a\)は

\(a\)=\(\displaystyle\frac{ 21 }{ 7 }\)=\(\style{ color:red; }{ 3 }\)となります。

問題

次の表は、あるリボンの長さ\(x\)mと、その代金\(y\)円を表している。

この時、

(1)\(x\)の値が2倍、3倍となっていくと、\(y\)の値はどのようになるか。

(2)\(x,y\)の関係を式に表しなさい。

(3)このリボン2.5mの代金はいくらか。

(4)300円で最大何mのリボンが買えるか。

問題の解答・解説

表からリボンの長さと代金との間に比例関係があることがわかります。

よって、(1)は\(y\)の値も同様に2倍、3倍となっていくが答えとなります。

また表から、リボンの長さが1m長くなるごとに代金が20円ずつ増えていることがわかります。

よって、\(x,y\)の関係式で表すと、比例定数が20の一次関数であることもわかりますので(2)の答えは、

(2)\(y=20x\)となります。

(3)の問題は、(2)で求めた関係式の\(x\)に2.5を代入することによって解きます。

すると、(3)は、\(y=20×2.5=\style{ color:red; }{ 50(円) }\)となります。

(4)は(3)のように今回は、\(y\)に300を代入して、\(x\)の値を求めれば良い問題です。

ゆえに、

(4)\(300=20x\)

\(x=\style{ color:red; }{ 15(m) }\)が求まります。

問題

水そうの高さが\(50cm\)で、水の高さが毎分\(5cm\)高くなるように水を入れる。

水を入れ始めてから\(x\)分後の、水の高さを\(ycm\)とする時以下の問いに答えよ。

(1)\(y\)を\(x\)の式で表しなさい。

(2)水を入れ始めてから15分後の水の高さは何\(cm\)か。

問題の解答・解説

(1)毎分\(5cm\)水位が上がっていくので、まず比例定数は\(5\)であることがわかります。

今回は、もともと水は入っていなかった(つまり切片は\(0\))と考えて良いので、

答えは、\(\style{ color:red; }{ y=5x }\)となります。

次に(2)に移ります。

(1)の結果を用いれば、簡単に15分後の水位がわかります。

\(y=5x\)の\(x\)に15を代入して、\(y=75\)となります。

しかし、答えは\(75cm\)とはなりません。なぜなら、水そうの高さが\(50cm\)だからです。

\(25cm\)分は外に漏れ出したと考えるのが自然なため、最終結果は\(\style{ color:red; }{ 50cm }\)となります。

問題

\(\displaystyle\frac{ x+y }{ 5 }=\displaystyle\frac{ y+z }{ 4 }=\displaystyle\frac{ z+x }{ 3 }( \neq 0)\)の時、

\(\displaystyle\frac{ xy＋yz＋zx }{ x^2＋y^2＋z^2 }\)の値を求めよ。

問題の解答・解説

これは、比例式と呼ばれる高校の学習範囲の中にある比例の問題です。

このような問題では、基本的に(与式)=\(k\)とをおいて解きます。

\(\displaystyle\frac{ x+y }{ 5 }=\displaystyle\frac{ y+z }{ 4 }=\displaystyle\frac{ z+x }{ 3 }=k\)とおく。

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x + y = 5k・・・① \\ y + z = 4k・・・② \\ z + x =3k・・・③ \end{array} \right.\end{eqnarray}

①〜③の左辺と右辺をそれぞれ全て足し合わせて、\(2\)で割ると、

\(x+y+z=6k\)・・・④

④から①〜③のそれぞれを引くと、

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} z = k \\ x = 2k \\ y = 3k \end{array} \right.\end{eqnarray}

よって、

\(\displaystyle\frac{ xy＋yz＋zx }{ x^2＋y^2＋z^2 }\)

=\(\displaystyle\frac{ 2k×3k+3k×k+k×2k }{ 4k^2+9k^2+k^2 }\)

=\(\displaystyle\frac{ 11k^2 }{ 14k^2 }\)=\(\style{ color:red; }{ \displaystyle\frac{ 11 }{ 14 } }\)

となります。