もう迷わない!数学で図形を綺麗に書くコツ

はじめに

センター試験などの試験で図形問題が出題された時、描いた図形がぐちゃぐちゃになってしまった経験はありませんか?

何度も描き直すことになって、大幅に時間をロスしてしまうのはもったいないですよね。

綺麗な図形が書けるようになれば、考えが進むのもスムーズになり、問題を解くスピードも向上します。

描くのが下手だからと言ってあきらめてしまってはいけません! 描き方にもポイントテクニックが存在するのです。

見につければ差をつけることができるのです。ここでは図形の描き方のポイントやその練習方法を伝授します。ぜひマスターして、周りと差をつけましょう!

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2020.05.08

図形を描く前に、ここだけは押さえよう

図形を描く目的をはっきりさせよ

そもそも試験場で図形を描くのは何のためでしょうか?もちろん、問題を解くためです。

したがって、問題を解くのには何が必要かを意識して図形を描くことが重要です。

例えば、「立体図形をある平面で切った断面積を求める」という問題では、断面の形を把握すること、つまり、断面に垂直な方向から見た図形を描くことが重要になります。

立体的に把握できる全体図を無理に描く必要はないのです。

例えば、次図のグラフの斜線部について、x軸を軸にして回転させた立体図形の図を書くのは難しいですが、x軸に垂直な断面はただの円であり、簡単に把握できます。

もう迷わない! 手書き図形の書き方

必要な線だけ描け

上の内容と関連しますが、必ずしも問題文中で与えられた図形を全て描く必要はありません。

例えば、センター試験のように設問が前半部と後半部で大きく分かれているような問題の場合には、前半と後半で注目すべき図形の部分が変わってきます。

そのため、今必要としている部分だけを抽出して描くことが重要です。

badの例のように、必要以上に線を書いてしまうと、問題を解くためのポイントを発見しづらくなり、問題がなかなか解けないことになりかねません。

必要な線だけを書くように気をつけましょう。

もう迷わない! 手書き図形の書き方

図形分野の知識を図に反映させよ

例えば、三角形の内接円を描く際には、「三角形の3つの辺に接する」「三角形の3本の角の二等分線が交わる点が中心となる」ように描く必要があります。

また、直角三角形の外接円を描く時には、「直角三角形の斜辺が円の直径となる」ように描かなければなりません。

以上のように、計算をしていく上だけでなく、図形を描く段階でも図形分野の知識を利用することが必要です。

また、図形を書いている最中にその問題の解法や図形の持つ性質に気づくこともあります。

なんとなく図形を描いてしまうのではなく、知識を活かしながら細心の注意をもって図形を書くことが重要です。

もう迷わない! 手書き図形の書き方

図は大きく描け

スペースをできるだけ活用しようとして、図形を小さく描いていませんか。

確かに、テストでは限られた余白で問題を解かなければなりません。コンパクトに図を描くことは大切なことです。

しかし、だからといって小さく描きすぎると、線や文字が重なってしまい、非常に見にくくなってしまいます。

問題を解き進めていく内に、補助線を引くこともあるので、少しは大きめに描くことがコツです。

小さく描きすぎて、書き直しになるような時間のロスは避けましょう。

もう迷わない! 手書き図形の書き方

以上が図を書く前の注意点でした。それでは実際に図を書いてみましょう!

基本図形を書いてみよう

ここでは実際にいくつかの簡単な図形を書くことを通じて、具体的な注意点などを見ていきましょう。

円に内接する鈍角三角形を描いてみよう

円に内接する三角形を描く時に、先に三角形を描いてしまう人がいます。

しかし、実際に描いてみると円を先にした方が描きやすいことが分かるでしょう。

このように図形を書く順番を意識することは1つのポイントです。

また、一般性を保つこともポイントになります。

例えば、三角形内に円の中心をもってきてしまうと、鋭角三角形になってしまいます。

また、鈍角三角形としか言われていないのに二等辺三角形を書いてしまってもいけません。

このように、図形を見た際に「二等辺三角形だっけ?」などの勘違いをしないよう、特殊な場合の図形を描かないようにしましょう。

もう迷わない! 手書き図形の書き方

一般の四面体を斜めから見た図を描いてみよう

そもそも平面に立体図形を描くということは、かなり難しいです。

また、一般の四面体を描くといっても、平面図形の時と違って二つの辺が等しくならないように描くなどの調節をすることは難しいので、無理にする必要はありません。

この図形でいくつかポイントを挙げると、まず底面となる三角形を描いた後にもう一つの頂点を打つということ、裏側にある線は点線で描くことなどがあります。

立体図形をうまく描くには慣れることが一番なので、何度も練習してみましょう。

次に紹介するコラムも是非、参照してください!

もう迷わない! 手書き図形の書き方

AB=3 BC=7 CA=8 の三角形を描いてみよう

まず、この三角形は鋭角三角形、鈍角三角形のどちらでしょうか?

それは最も大きな辺の長さの二乗と他の辺の二乗の和、すなわち8^2=64と3^2+7^2=58を比較すれば分かります。

直角三角形の時にこの2つは等しくなります。だから、今最も大きな辺がそれよりも大きいということは、これは鈍角三角形です。

辺の長さに関しては、長さの比まで正確な図が必要になる問題は少ないでしょうから、ある程度の正確さであれば良いでしょう。

このように、図を書く前に適宜計算をした方が正確に図を書ける場合もあります。

ただし、最初に述べたように問題文に応じて、必要な要素だけ忠実に再現することが大切です。

もう迷わない! 手書き図形の書き方

【コラム】複雑な立体図形について

東京大学理系2008年に次のような問題が出題されました。

「正八面体のひとつに面を下にして水平な台の上に置く。この八面体を真上から見た図(平面図)を描け。」

答えは次の図形のように正六角形が見える図形となります。

確かに、立体をイメージするのが苦手な人にとっては、その場で考えて描くのは難しいでしょう。

もう迷わない! 手書き図形の書き方

しかし、あきらめるのはもったいないです! 

そもそも入試などで出題される図形の種類というのは、そんなに数多いものではありません。

つまり、有名な図形に関して十分にその性質などを調べて、暗記してしまえば良いのです。

書き方を事前に決定してしまうという方法もあります。暗記した図形の組み合わせで、見たことのない図形を描くことも可能でしょう。

これは、立体図形だけでなく平面図形においても言えること。積み重ねが大切だということです。

センター試験に挑戦しよう

最後に、今まで紹介したポイントを意識しながら、2013年のセンター試験の図形問題のキーポイントになった部分を解いてみましょう!

問題は実際のセンター試験で出題したものを改題しています。一度、図を自分で描いてから、下の解説を見てくださいね!

問題

Q点Oを中心とする半径3の円と、点Oを通り、点Pを中心とする半径1の円Pを考える。

円Pの点Oにおける接線と円Oとの交点をA,B,とする。また、円Oの周上に、点Bと異なる点Cを、弦ACが円Pに接するようにとる。

弦ACと円Pとの接点をDとする。

このときAP=アイ OD=ウ√エオ/カである。(中略)AC=24/5, BC=18/5であり、△ABCの内接円の半径は6/5である。

円Oの周上に、点Eを、線分CEが円Oの直径となるようにとる。

△ABCの内接円の中心をQとし、△CEAの内接円の中心をRとする。このとき、QR=テト/ナである。

解説

もう迷わない! 手書き図形の書き方"

Point 1

まず図を描きますが、円の中に円が入っている構図なので複雑になることが予想されます。

前のページで紹介したように、普段よりも大きい図を書くように心がけましょう。

次に、この図を書く際のポイントは、円O,Pの半径が3,1であることを反映させること。

そして、内接円の性質から△APOと△APDが合同∠AOP=∠AOP=90°であること、対称性よりOD⊥APであることなどです。

これらに気づかないという人がいるかもしれませんが、これらは内接円の構図として有名なので、覚えておくと便利です!

Point 2

図形の続きを書いていきます。しかし、先ほどの図形に書き加えていくと左図のように線が多くなり、どこに注目してよいか分からなくなるでしょう。

そのため、図を描き直すことを考えます。
もう迷わない! 手書き図形の書き方

Point 3

では、どのように描き直せば良いのでしょうか。

問題文を見直すと、次はQRの長さを求める問題です。

この問題を解くのに必要な部分を考えてみると△ABCと△CEAそしてその内接円をメインに書けばよいということがわかると思います。

正確な図が描けていれば、△ABCと△CEAが合同で、従って内接円の半径が等しいことに気付くことができます。

Point 4

さらによく見ると、左図のような長方形を抽出して考えると良いことが分かります。

長方形の辺上にQRが乗っている構図になっていることまで見抜くことができれば、この問題は解けたも同然です。

始めの図のままだと気づくことはなかなか難しいでしょう。

しかし、以上のように描くべき図形を取捨選択すれば簡単に気づくことができます。

このように、図形の描き方は問題を解く上で重要な役割を果たしているのです!

まとめ

ここまで読んでみていかがでしたでしょうか。

図の描き方について今まであまり意識していなかったという人は、この記事を是非これから活用してください。

図形が上手く描けるようになると、問題の正解率が飛躍的に上がります。

図形を綺麗に描くこと自体が、図形問題の解法の一つなのです。

描いた図形から「この点は実は中点なのではないか?」といった閃きが得られ、そこから正解に繋がることも少なくありません。

この記事を読んでくれたあなたの図形のセンスに磨きがかかることを祈っています!頑張って下さい!

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