『この問題で差がついた!』2018年大阪大学の数学入試問題に学ぶ「三角関数」

2018年2018年大阪大学文系第1問 解説

2018年大阪大学文系第1問

関数 \(f(t)=(\sin{t}-\cos{t})\sin{2t}\) を考える。

(1) \(x=\sin{t}-\cos{t}\)とおくとき、 \(f(t)\)を\(x\)を用いて表せ。
(2) \(t\)が\(0≦t≦\pi\)の範囲を動くとき、 \(f(t)\)の最大値と最小値を求めよ。

2018年大阪大学文系第1問 (1) 解答・解説

加法定理(\(2\)倍角の公式)や\(\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1\)という基本的な公式が頭に入っていればすんなりと解けるはずです。

基本的な部分でつまづきがある人は基礎知識をきちんと確認しておきましょう。

\(\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1、 \sin{2\theta}=2\sin{\theta}\cos{\theta}\)なので、

\(\begin{align}
x^2&=\sin^2{t}+\cos^2{t}-2\sin{t}\cos{t}\\
&=1-2\sin{t}\cos{t}\\
&=1-\sin{2t}\\
\end{align}\)

\(∴\sin2{t}=1-x^2\)

\(\begin{align}
f(t)&=(\sin{t}-\cos{t})\sin{2t}\\
&=x(1-x^2)\\
&=-x^3+x\\
\end{align}\)

\(\style{color:red;}{∴f(t)=-x^3+x}\)

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2018年大阪大学文系第1問 (2) 解答・解説

\(t\)が与えられた範囲を動くとき、 \(x\)の取りうる範囲を考えるという定石の作業で答えを出すことができますよね。

その際に、 自分が今どの変数を扱っているか混乱しないようにしましょう。

\(
x=\sin{t}-\cos{t}\\
=\sqrt{1^2+1^2}\left\{\sin{t}×\biggr( \frac{1}{\sqrt{1^2+1^2}}\biggr )-\cos{t}×\biggr( \frac{1}{\sqrt{1^2+1^2}}\biggr)\right \}\\
=\sqrt{2}\left\{\sin{t}×\biggr(\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr)-\cos{t}×\biggr(\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr)\right \}\\
=\sqrt{2}\sin{\left(t-\frac{\pi}{4}\right)}\\
\)

※三角関数の合成の参考図

\(∴-1≦x≦\sqrt{2}\)

(1)より、 \(f(t)=-x^3+x\)であり、 これを\(g(x)\)とおく。

\(g'(x)=-3x^2+1\)なので、\(g'(x)=0\)となる\(x\)は、\(x=±\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\)

増減表を書くと、

\[\begin{array}{c|ccccc} x & -1 & \cdots & -\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} & \cdots & \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} & \cdots & \sqrt{2} & \\ \hline g’(x) && – & 0 & + & 0 & -& \\ \hline g(x) & g(-1) & \searrow & 極小 & \nearrow & 極大 & \searrow & g(\sqrt{2})\end{array}\]

 
よって、 \(f(t)=-x^3+x\)は下のようなグラフになる。

上の図より、 \(g(x)\)は\(x=\sqrt{2}\)で最小値、 \(x=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\)で最大値をとることがわかる。

最小値:
\(\begin{align}
g(\sqrt{2})&=-(\sqrt{2})^3+(\sqrt{2})\\
&=-2\sqrt{2}+\sqrt{2}\\
&=-\sqrt{2}\\
\end{align}\)

最大値:
\(\begin{align}
g\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)&=-\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^3+\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\\
&=-\frac{1}{3\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}\\
&=\frac{2}{3\sqrt{3}}\\
\end{align}\)

\(
\style{color:red;}{
∴最小値:-\sqrt{2}、 最大値:\displaystyle\frac{2}{3\sqrt{3}}
}
\)

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おわりに

いかがだったでしょうか?

今回の問題は、大阪大学にしてはえらく基本的な問題だったと思います。
ただやはり要求されてくるのが、「正確な計算力」でしょう。

(2)は焦っていると、ついつい文字がぐちゃぐちゃになってまうように作られていると思われます。

しかしながら問題のレベルとしては大変基本的です。
つまりできる人とできない人との間でかなり差がつく問題だったであろう問題です。

このような問題で失点をせずに確実に得点できるように常日頃から計算力をつけていきましょう。




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