センター数学 分野別重要ポイント(数学I・A編)

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この記事は 2016年06月28日に更新されました。

みなさん、こんにちは。
受験シーズンが近くなってきましたね。

そろそろ、センター試験を意識し始めている人もいるのではないでしょうか。
 
 
センター試験での重要な科目の一つに数学があります。配点が200点もあるので、大学入試の合否にも大きく関わります
それだけに、センター数学をどう解けばいいのか困っている人も多いのではないでしょうか。
 
 
そこで今回は、センター数学を解くにあたっての注意点を、僕の経験を踏まえつつ分野別に解説していきたいと思います。
是非参考にしてくださいね!
 
 

1.二次関数

頂点の位置だけは絶対に間違えない!

二次関数の問題でまず気を付けないといけないのは、頂点の位置を絶対に間違えないことです。

もし、そこで計算ミスが起きてしまうと、そのあとの設問(最大値・最小値を求める問題など)がドミノ式で崩れてしまい、悲惨なことになります。
 
 
僕も実際、中3の時に受けた記述模試の二次関数の問題で、頂点の位置を間違えてしまいました。その結果、それ以降の計算が全てズレてしまい、大問が丸ごと0点になってしまいました。
 
 
そんなことになっては困るので、二次関数の頂点を求める計算(平方完成)は、必ずその場で検算してから、次の問題に移りましょう

平行移動の式も忘れずに

センター試験では何年かに一回くらい、平行移動の式を尋ねてくることがあります。この公式は、他の記述模試で出てくることが少ないので、忘れがちです。その公式を以下に示しておくので、おさらいしておきましょう。

公式

なお、y-q=f ( x-p ) と書くべきところを、y+q=f ( x+p ) などにしてしまう人が多いので、気を付けましょう。
 
 

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2.集合と論証

必要条件と十分条件を混同しないように

センター試験では、必要条件・十分条件の理解を試す問題がほぼ毎回出題されます。

そのため、この二つの条件をしっかり区別していないと、本番で焦ることになります。

○→■ ならば、「○は■であるための十分条件」
○←■ ならば、「○は■であるための必要条件」

覚えていない人は押さえておきましょう。
 
 
では、この二つの事柄はどう覚えると良いのでしょうか。

僕はまず、一個目の方を
○→■ :「○は■に十分与える」
という風に、勢いで覚えました。

そうすれば、○←■は、「十分条件じゃないほう」という風に自動的に決まります。(無理矢理ですね笑)

皆さんも、自分に合った覚え方を探してみてくださいね!

反例に十分注意する

先述の「必要条件・十分条件」の判定問題で、最も気を付けないといけないのが「反例」の存在です。
 
 
例えば、次の問題を考えてみましょう。
 
 

同一平面上にある三直線について、命題P,Qを次のように定める。
P: それらの三直線は、互いに平行でない
Q: それらの三直線によって三角形が囲まれる。
この時、PはQであるための〔 ア 〕。
〔 ア 〕に当てはまるものを⓪~③の中から一つ選べ。
⓪必要条件であるが十分条件ではない
①十分条件であるが必要条件ではない
②必要十分条件である
③必要条件でも十分条件でもない

 
 
うっかりしていると、②を選んでしまいそうですが、正解は⓪です。
なぜなら、三直線が一点で交わる場合があるからです。
図のように、三直線が一点で交わってしまうと三角形は作れないので、P→Qが偽になるのです。
図形
 
 

3.図形と計量

図はきれいに描こう

問題を解く前に、皆さんは図を描くと思います。その際、図はなるべく丁寧に描きましょう。雑に描いてしまうと、考えたい図形の幾何学的な特徴が見えなくなってしまいます。
 
 
補足ですが、試験本番では定規・コンパス・分度器などは使用が禁止されています。(使用した場合は不正行為になるようです泣。)そのため、普段の練習の時から図は全てフリーハンドで描きましょう。

手書き図形をきれいに描くコツを、より詳しく知りたい人は、こちらの記事を参照してください。
 
 

正弦定理、余弦定理をマスターしておく

当たり前じゃないかと思うかもしれませんが、正弦定理・余弦定理を状況に応じて適切に使い分けるのはとても重要です。まだ腕に自信のない人は練習しておきましょう。
 
 
なお、図形と計量の問題は、似通ったものが多いという印象があります。そのため、たくさん問題を解いて慣れさえすれば簡単に使いこなせるようになります!
 
 
余談ですが、「余弦定理の存在感が強すぎて正弦定理を忘れる」人も多いので、気を付けましょう。
正弦定理を使えば一瞬で解ける問題を、余弦定理で解こうとしてドツボにはまるのは、もったいないです。

円に関連した図形問題をマスターしよう

図形と計量の問題を作る際、出題者は「円」を絡めてくることが多いです。
なぜかというと、円を絡めることで、正弦定理・円周角の定理・方べきの定理に関する理解度も確認できるからです。

そのため、図形と計量で得点するには、sinやcosの知識だけでなく円に関係した幾何学の定理も押さえることが必要です。

数学Aの教科書の図形問題をよく見直しておきましょう。
 
 

4.データの分析

公式は覚えよう

データの分析の問題を解くには、公式の暗記が必須です。当たり前じゃないかと思うかもしれませんが、これができていない人は意外と多いはず。

というのも、データの分析の問題が学校の授業や記述模試などではほとんど出ないので、公式を忘れてしまいやすいのです。
(四分位偏差・分散・標準偏差・共分散・相関係数の辺りは特に忘れやすいのでは…?)
最難関大学受験生でも、データの分析の公式をド忘れしていることは日常茶飯事です。

分からない問題は飛ばそう

この分野の応用問題は難しいことが多いです。パズル的な要素が強く、解法を思いつけずに時間を浪費しやすい難所です。

そのため、分からない問題は飛ばして、あとで見直すようにするのが安全です。
 
 

5.場合の数・確率

過不足なく数える!

皆さんもお分かりかもしれませんが、場合の数・確率の問題で一番大事なのは、過不足なく数えることです。
漏れがあったら0点、ダブりがあっても0点になってしまう分野なので、かなり怖いです。
 
 
過不足なく数えるための必殺技とかも気になるところですが、問題のバラエティーが豊富すぎて一概には言えません泣。
 
 
ただ、覚えておくと便利な式もいくつかあるので、紹介しておきます。

A∪B=A+B-A∩B

「AまたはB」の計算で用いる式です。
例題を一つ見てみましょう。

(例題)大小二つのさいころを振って、少なくとも一方が6になる確率を求めなさい。

(解答)事象A,Bを次のように定めると、
A:「大のさいころが6になる」
B:「小のさいころが6になる」
求めたいのはA∪Bの確率 P(A∪B) である。
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
=(大が6になる確率)+(小が6になる確率)-(両方6になる確率)
=1/6+1/6-1/36=11/36
という感じで求まります。
 
 

確率は全て足すと1になる

これは、余事象の考え方で重要になる性質です。さっきやった例題も、余事象を使えばもっと楽に求まります。

(例題再掲)大小二つのさいころを振って、少なくとも一方が6になる確率を求めなさい。

(例題の別解)
求める値は、「二つとも6にならない確率」を1から減じたものである。
「二つとも6にならない確率」=「二つとも1~5の目が出る確率」であることに気を付けて、
(求める確率)= 1-(5/6)×(5/6)=11/36
という感じです。
 
 
このような小技をうまく使って、問題を解いていきましょう。
 
 

6.整数

不定方程式の解き方は絶対に押さえる!

整数の問題で最も出やすいものといえば、「1次不定方程式」ではないでしょうか。

やり方を知らないと絶対に太刀打ちできないので、出題者にとっては絶好のネタです。

詳しい解き方を知りたい人は、「例題で学ぶ高校数学」というサイトがおすすめです。

ユークリッドの互除法も盲点になりやすい

もう一つ押さえておくと良いのが「ユークリッドの互除法」です。出題頻度はやや低いですが、差のつきやすい内容です。

詳しくはこちら↓

ユークリッドの互除法は、一年くらい前に東進のセンター模試で出題され、ぶちのめされた記憶があります。
痛い目に遭わないように、しっかり理解しておきましょう泣。

7.平面図形

メネラウスの定理・チェバの定理が出やすい

メネラウス・チェバの定理は、比較的簡単に問題を作れるので、出る可能性が高いと思われます。
(少なくとも、僕が高3の時に受けたセンター模試では、メネラウス・チェバの定理がバンバン出ていました。)

使い方をしっかりマスターしておきましょう。
 
 
ここで、メネラウスの定理について注意点があります。

メネラウスの定理を使うときは、図1のように、はじめの点に戻ってくる形で立式しましょう。(Aが出発点だと思ってください。)
図2のような、終着点が出発点と異なる式の立て方は誤りとなります。
 
 
公式

終わりに

いかがでしたか?
今回は、センター試験の数学ⅠAの問題を解くにあたっての注意点を紹介してきました。
この記事が、皆さんの数学の勉強の参考になれば幸いです。

頑張ってくださいね!

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